

13) G. Faber, Ueber Potentialtheorie und konforme Abbildung, Münchner 
Berichte 1920, S. 49—64. 
14) J. Plemelj, Ueber den Verzerrungssatz von P. Koebe, Verh. d. Ges. 
D. Natf. u. Aerzte 85 (1913), Abtlg. III, S. 163. 
15) G. Pick, Ueber den Koebeschen Verzerrungssatz, Leipziger Berichte 
1916, S. 55—64. 
16) Gronwall hat ohne Beweis und wohl unabhängig von den genannten 
Autoren die in Betracht kommenden Abschätzungen angegeben. Die Andeutungen, 
die er über seine Beweisgänge macht, lassen m. E. die Durchführbarkeit nicht 
erhoffen. Paris, Comptes rendus, 162 (1919), S. 249— 252. 
17) Man kann ziemlich leicht dem Flächensatz entnehmen, dass 
n 
2 lan|<3 
sein muss. Daraus erhält man dann eine Abschätzung in einem Kreis. Durch 
lineare Abbildung des Einheitskreises in sich erhält man daraus. sofort eine 
analoge Abschätzung in einer Kreisscheibe um einen beliebigen Punkt des Ein- 
heitskreises und daraus erhält man durch Kombination der Abschätzungen sofort 
die Verzerrungssätze wenigstens dem qualitativen Gehalt nach. Das Zusammen- 
setzen der Abschätzungen würde wegfallen, sobald es gelänge die auf anderem 
Wege (Vergl. Note 20) sicher gestellte Abschätzung |an|<5, 1n? schon an dieser 
Stelle zu gewinnen. Zu den genauen Schranken für |f(z)| aber würde man erst 
gelangen, wenn es gelänge sogar |an| < n abzuschätzen. 
18) R. Nevanlinna, Ueber die schlichten Abbildungen des Einheitskreises. 
Oeversikt av Vet. Soc. Förh. Bd. 62 (1919/20) Avd A No 7. 
"') L. Bieberbach, Aufstellung und Beweis des Drehungssatzes für schlichte 
konforme Abbildurgen. Math. Zeitschrift 4 (1919), S. 295—305. 
0) Hieraus gewinnt man mit Hülfe des Koeffizientensatzes leicht die in 
Note 17 angegebene Abschätzung |an|<5,1n?. Die Gutzmersche Koeffizienten- 
abschätzung würde ein noch etwas besseres Ergebnis geben. 
1) Dieser Satz ist schon in der oben?) genannten Arbeit Koebes von 1907 
enthalten allerdings ohne Bestimmung der Konstanten 1. Den ersten vollen Beweis 
dafür hat G. Faber!’) gegeben. Die Benennung des Satzes nach mir ist unbe- 
rechtigt, weil mein erster Beweis misslungen ist. Einen zweiten habe ich erst 
etwas später‘) gegeben. Ein dritter Beweis rührt von Faber‘) her. 
*') Der Satz hat erst neuerdings seinen endgültigen Beweis gefunden. Koebe 
hat ihm unter wesentlicher Beeinflussung durch Caratheodorysche Gedanken- 
elemente 1912 seine Gestalt gegeben. Seitdem ist er von verschiedenen Seiten 
dargestellt worden. So von Caralheodory in der Schwarzfestschrift 1914, von 
Koebe im Crelleschen Journal Bd. 145 (1914), von Bieberbach, in seiner Ein- 
führung in die konforme Abbildung, Leipzig 1915, von Lindelöf in quatričme 
congres des mathematiciens scandinaves a Stockholm 1916. 
23) Löwner, Untersuchungen über die Verzerrung bei konformen Abbil- 
dungen des Einheitskreises |z| <1, die durch Funktionen mit nichtverschwin- 
dender Ableitung geliefert werden. Leipziger Berichte 68 (1917), S. 89—106. 
>) C. Carathćodory, Sur la representation conforme des polygones con- 
vexes, Ann. de Bruxelles 57 (1913), S. 1—10. 
25) Die das Randverhalten bei schlichter Abbildung betreffenden Sätze 
rühren teils, soweit sie den analytisehen Charakter auf analytischen Randbogen 
betreffen, von A. A. Schwarz, teils von Study und Caratheodory her. Ich gebe 
hier nur die Literaturstellen, wo sich die einfachsten Beweise finden. Denn dort 
sind Verweise auf die ältere Literatur genug zu finden. Was den analytischen 
Charakter auf analytischen Randstücken betrifft, verweise ich auf die in Note 
22 genannte Arbeit von Caratheodory. Wegen der Sätze für den allgemeinen 
Fall möge sich der Leser an die in derselben Note genannte Arbeit von Koebe 
oder an den dort genannten Vortrag von Lindelöf oder endlich an die folgende 
Abhandlung von Lindelöf halten: Sur un principe general de l’analyse et ses 
applications a la theorie de la representation conforme. Acta acc. scient. Fenn. 
Bd. 46, Nro 4. Die auf die Konvergenz am Rande bezüglichen Sätze rühren von 
Fejer her. Vergl. desen Arbeit in der Schwarzfestschrift S. 42—53: Ueber die 
Konvergenz der Potenzreihe an der Konvergenzgrenze in Fällen der konformen 
Abbildung auf die schlichte Ebene. Auch findet man den in Betracht kommenden 


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