A. Hartmann. 



lieber homothetische Ellipsen. 



(Eingereicht den 3. März 1906.) 



Nach einem von Steiner aufgestellten Satze (Werke II, 

 pag. 676) sind die einem Dreieck eingeschriebenen Ellipsen im 

 allgemeinen je vier und vier homothetisch (Ellipsen mit parallelen 

 und proportionalen gleichnamigen Axen oder ähnlich und ähnlich 

 gelegene Ellipsen); ihre Mittelpunkte liegen allemal in den Ecken 

 eines vollständigen Vierecks, dessen drei Paar Gegenseiten sich 

 in den Ecken des gegebenen Dreiecks schneiden. 



Aus diesem Satz entspringt die Aufgabe: Die vier Ellipsen 

 zu konstruieren, welche die Seiten eines gegebenen Dreiecks be- 

 rühren und einer gegebenen Ellipse homothetisch sind. 



Zu einer Konstruktion dieser Ellipsen und zugleich zu einer 

 A^erallgemeinerung des genannten Satzes gelangen wir durch fol- 

 gende einfache Ueberlegung. Bekanntlich kann jede Ellipse 

 orthogonal in einen Kreis projiziert werden, indem man die Pro- 

 jektionsebene so wählt, dass ihre Schnittlinie mit der Ebene 

 der gegebenen Ellipse der kleinen Axe dieser letzteren parallel 

 ist, und zugleich so, dass der Cosinus des von den beiden Ebenen 

 eingeschlossenen Winkels dem Verhältnis b : a der kleinen Axe 

 zur grossen Axe gleich ist. Alsdann wird die Projektion der 

 Ellipse ein Kreis vom Radius b (kleine Halbaxe der Ellipse), und 

 es entsprechen sich im Original und Bild die Mittelpunkte. Dem- 

 nach werden, durch dieses Verfahren, homothetische Ellipsen, 

 welche in der nämUchen Ebene liegen, gleichzeitig orthogonal 

 in Kreise projiziert. Denkt man nun die Originalebene um ihre 

 Spur in die Projektionsebene umgelegt, so sind die Systeme der 

 Ellipsen und der Kreise orthogonal affine Systeme in perspek- 

 tivischer Lage. Die Spur der Originalebene (parallel zu den 

 kleinen Axen der Ellipsen) ist die Axe und das Verhältnis b : a 

 der kleinen Axen zu den grossen Axen der EUipsen die Cha- 

 rakteristik der Affinität. 



