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sprechenden Kreisen des Systems Oi' O2' Os', welche die Gruppen 

 der Apollonischen Kreise berühren. — 



Aus der projektivischen Verwandtschaft der Systeme geht 

 ferner hervor, dass die acht homothetischen Ellipsen auch direkt 

 in gleicher Weise, wie die acht Apollonischen Kreise konstruiert 

 werden können. Wir nehmen (Gergonne'sche Konstruktion) von 

 irgend einer der vier Aehnlichkeitsaxen der gegebenen homo- 

 thetischen Ellipsen in Bezug auf jede den Pol Pi P:^ Ps und ver- 

 binden denselben mit dem Radikalzentrum R. Schneiden diese 

 Sehnen die Ellipsen in den Punktenjiaaren a' b'; a" b"; a'"b'", 

 so ordnen sich dieselben zweimal zu dreien so, dass die durch 

 a' a" a'" und die durch b' b" b'" gehende Ellipse in ihnen 

 die gegebenen berührt. Sie sind bestimmt durch die Punkte 

 a' a" a"' resp. b' b" b'" und die Tangenten in diesen Punkten. 

 Wiederholen wir das Verfahren mit jeder der andern Aehnlich- 

 keitsaxen, so erhalten wir die acht homothetischen Apollonischen 

 Ellipsen in vier Paaren. Diese direkte Konstruktion der Ellipsen 

 ist indessen nicht so leicht durchführbar, wie die erst ei-wähnte 

 und liefert nicht direkt die Mittelpunkte und dieAxen der Ellipsen. 



Damit sind der Satz über die eingeschriebenen Kreise des 

 Dreiecks und das Apollonische Problem übertragen auf Ellipsen, 

 die durch zwei imaginäre Punkte der unendlich fernen Geraden 

 gehen. Durch Zentraiprojektion (Collineation) können wir diese 

 Probleme übertragen auf Kegelschnitte, welche durch zwei beliebige 

 imaginäre Punkte gehen. Wir erhalten dadurch folgende Sätze: 



1. Es gibt vier Kegelschnitte, welche die Seiten eines Drei- 

 ecks berühren und durch zwei imaginäre Punkte gehen. Die 

 Pole der gemeinsamen Sekante in Bezug auf diese Kegel- 

 schnitte liegen in den Ecken eines vollständigen Vier- 

 ecks, dessen drei Paar Gegenseiten sich in den Ecken 

 des Dreiecks schneiden. Diese vier Kegelschnitte werden 

 von einem fünften Kegelschnitt berührt, der ebenfalls 

 durch die zwei imaginären Punkte geht. 



2. Gehen drei Kegelschnitte durch zwei imaginäre Punkte, 

 so gibt es acht Kegelschnitte, welche dieselben berühren 

 und ebenfalls durch die zwei imaginären Punkte gehen. 

 Diese acht Kegelschnitte zerfallen in der Art in Gruppen 

 von vier, dass die Kegelschnitte jeder Gruppe von 



