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Hist. Bemerkung: Dieses .Kreissystem wird dem Apol- 

 lonius von Perga (in Pamphylien) mit dem Beinamen des grossen 

 Geometers zugeschrieben, der um 200 v. Chr. zu Alexandria 

 lebte und ein Werk über die Kegelschnitte (De Sectionibus 

 conicis) schrieb. 



Beweis zu 1. Am einfachsten rechnen wir in trimetrischen 

 Koordinaten, indem wir einen beliebigen Punkt P durch seine 

 Abstände x^ x.^, Xg von den bezw. Dreiecksseiten BC = s^ . 

 CA = So und AB = Sg bestimmen, wobei x^, x^ u. Xg durch die 

 Beziehung verbunden sind : ' 



x^ . s^ -|- X., . So -f- Xg . Sg =^ s^ . So . sin C = Sg . Sg . sin A = Sg . s^ . sin B 



Bezeichnet d den Durchmesser vom Umkreis des Funda- 

 mentaldreiecks (ABC), so folgt aus der Figur : 



s^ = d.sinA,S2 :=^ d.sinB,S3 = d. sinC, also 



x^ . sinA -f- Xo . sinB + Xg . sinC =: d . sinA . sinB . sinC 



Der Abstand zweier Punkte x^', x^', Xg' u. x^", x^", Xg" 

 wird durch den Ausdruck gegeben : 



oder indem man s^ ^ d . sin A,So = d . sinB,S3 — d . sinC einführt 



durch J • . ^- o • ^ [(x/ -x/0'sin2A 

 V 2 . smA .smB. smC |_V i ^ / 



-|-(xo' — Xo")'sin2B + (xg' - X3"ysin2c]. 



Anmerkung: Die Formel ergibt sich folgendermassen 

 (s. Fig. 2). Bezeichnen 5t', ^' , 6' resp. 51", S", 6" die Fusspunkte^ 

 der Senkrechten aus P' und P" auf die Dreiecksseiten, so ist:' 



F'P"-^Wn'"- + (P'r - P"r'y oder da 



