— 104 — 



sinC sinB ^^ 2 sin C. sin B. cos A 



sin(C — A) sin(A — B) ' sin(C - A).sin(A — B) 



-j- 2sin A.cosO 



sin(C — A).sin(A — B) 

 woraus: sin C. sin (A — B) — sin B. sin (C — A) -j- 2 sin C. sin B. cos A 

 =^ -\- 2 sin'A . cos oder 



sin C(sinA.cosB — cos A . sin B) — sin B (sin C . cos A — cos C . sin A) 

 -f- 2 sin C. sin B. cos A = -|- 2 sin A.cosO oder sin"A = 2sin'' A. 



cosO, also cos0^4- -^ d.h. <Cm^_=60^; in gleicher 

 Weise ist < AW_ =^20^ u. < B^OA^ = 60^ w. z. b. w. 



Beweis zu 3 (Fig. 1). Sind BB" u. BB'" die innern 

 und äussern Winkelhalbierenden in /\ ABC an der Ecke B, so 

 ist: 



< B"BC = ^ ; < CBB' = A, also < B"BB' = A + ^ , 



r) 



ferner ist <X BB"B' = A -f- -9-5 als Aussenwinkel des Dreiecks 

 ABB", darum < B"BB' = < BB"B', somit 

 B^B = B^B" w. z. b. w. 



"P 

 Gleicherweise ist <X B'BB'" == 90 — A — -^ nach dem 



vorigen u. < BB'"B' = 90 — A - y als Folge 



des vorangegangenen, somit 



< B'BB'" = < BB'"B' , d. h. 

 B'B = B'B'" w. z. b. w. 



Satz: Im rechtwinkligen Dreieck ABC (Fig. 3) ist 

 die Verbindungslinie der Kathetenmitten Radical- 

 axe (P^Pa) eines Kreissystems, bestehend aus drei 

 Kreisen, wozu der Umkreis (M) gehört. Dieser ent- 

 hält die Mittelpunkte M^ und M,, der beiden andern 

 Kreise, welche durch die Berührungspunkte des 

 innerlich berührenden Kreises an den Katheten 



