221 



n a r= q ist. Betrachtet man die Zahlen als n fache voneinander, so 

 erzeugen sie die Rest 0. 1, 2, •••• n — i; und demnach hat man 

 zu bestimmen, welchem Gesetze die Maxima, die hiedurch erzeugt 

 werden, unterliegen. Geht man nun zuerst von der Abtheilung von 

 q Kugeln in zwei Abtheilungen aus, so sind die in den Abtheilungen 

 enthaltenen Kugeln entweder gleich, oder um die Einheit verschieden, 

 je nachdem q eine gerade oder ungerade Zahl ist. Geht man hievon 

 auf die Vertheilung der q Kugeln in drei Abtheilungen über, so ergibt 

 sich leicht für Auffindung des grösstmöglichen Werthes, dass immer 

 zwei Abtheilungen gleiche, oder um die Einheit verschiedene An- 

 zahlen von Kugeln haben müssen. Dasselbe folgert sich leicht für 

 die Vertheilung in vier und mehr Abtheilungen. Diess führt zu der 

 allgemeinen Behauptung. 



1 8- We rden q unter sich verschiedene Kugeln einerlei 

 Art in n Abtheilungen gebracht, so wird diejenige 

 Vertheilung den grössten We rth bieten, worin die 

 ■Rugelzahlen in den einzelnen Abtheilungen entwe- 

 der gleich, oder nur sämmtlich nur die Einheit ver- 

 schieden sind. 



Halten wir nun die so eben gefundene Formel 



q (q — 1) (q — 2) 3.2.1 



1 , 2 . 3 . . . a, . 1 . 2 . . . Bj . 1 . 2 . . . Hj . . . . 1 . 2 . . . a. 

 mit dem Satze 18 fest, so kann die Formel nur dann einen grössten 

 Werth liefern, wenn der Nenner ia.|i . -|a,|i . ;]aj|i .... /)a„|i ein 

 Minimum ist. Jede andere Gestallung in den Fakultäten des Nenners 

 muss einen kleineren Werth in der Formel und also einen grössern 

 durch sich selbst erzeugen. Sind nun die Grössen aj, aj, aj .... a„ 

 unter sich veränderlich, so darf diess nur in so ferne geschehen als 

 immer a, _(- a2 + a, -(-... -j- a^ = q ist. 



Geht man daher von dem Gesichtspunkte der Zerfällung der 

 Zahlen in ihre Bestandtheile, wie dieses von Euler im 16 Kap. seiner 



