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Ic) k<0, d. h. (s. Formel (13)) es ist in dem Intervall von z=0 bis 2=} immer 
F(e) >0, 
Iß) k>0, d. h. es läfst sich im allgemeinen nichts Bestimmtes aussagen, ja die Entschei- 
dung, ob F(z) > 0 oder F(z)< 0, kann noch mit von z abhängen. 
II) » <q, oder die Spirale ist nach der Naumannschen Terminologie exosthen. 
In diesem zweiten Hauptfalle geht man von = auf = 
über, indem man den Minuendus 
(* — 1) glg mit der Zahl Zq und den Subtrahendus (g — 1) p*1p mit der kleineren Zahl ip multi- 
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pliziert, d. h. die Funktion aL ist für <=2, positiv und zeigt ein Minimum an, so dafs die 
Funktion f(z) in dem angegebenen Intervall durchaus negativ bleibt. Auch hier sind wieder die 
beiden Fälle zu trennen 
Ile) k<0, d.h. ob F(z)> 0 oder F(z) < 0 bleibt im allgemeinen unentschieden und kann 
noch durch den Wert von 2 mitbedingt werden, 
IIß) %> 0, d. h. es ist in dem Intervall von z=0 bis z2=} immer F(z) <0. 
12. Die Quotienten aus den singulodistanten Durchmessern der äufseren Spirale 
nach der zweiten Naumannsehen Diplospiralen-Hypothese. An Stelle der Formeln (8) hat 
man jetzt: 
F(z 
4=41r rn 
F(z) 
F 
=4+ 
u,2.19 
wobei zu beachten, dafs hier wie dort 
DEZD,< DIE .- 
Mit Rücksicht auf den vorigen Paragraphen ergeben die Formeln (15) folgende Sätze: 
1) Wenn p>g und zugleich k <0, so hat man 
a>a>&>>a (16) 
2) Wenn p <q und zugleich k > 0, so hat man 
A<R<< <q (17) 
3) Wenn p>q und zugleich k > 0, oder wenn p <q und zugleich k <0, so läfst sich im 
allgemeinen etwas Bestimmtes über die Gröfse der Quotienten Q im Vergleich zum Windungsquotienten 7 
nicht aussagen, ja die Entscheidung, ob die Ungleichungen (16) oder (17) Gültigkeit haben, kann 
sogar noch von z abhängen. 
Hieran knüpft sich noch folgender bemerkenswerte Satz: 
4) Wennp > qund zugleich k > 0, oder wenn p < g und zugleich k <0, so ist es möglich, 
dafs für ein gewisses 2 
= = Q =: 1 (18) 
Man könnte hiernach in der Praxis auf eine logarithmische Spirale zu schlielsen veranlalst 
werden, wo eine solche doch in der That gar nicht ausgebildet wäre. 
13. Der Excentrieitätsfehler in der logarithmischen Spirale. Zu einem ähnlich 
lautenden Satze, als aus den Formeln (9) und (16) hervorgeht, wird man noch unter ganz anderen 
Umständen geführt, nämlich dann, wenn man in einer logarithmischen Spirale die singulodistanten 
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