2 
1 
D, = ce# (pP? +#1)+ 2% usw. 
ergeben durch Differentiation nach @: 
1 
——I — ce (p° + 1)=u(D, — 2%), 
ı 
2 — uepen® (p? +1)=pu(D, —2k) u.s.w. 
Hiermit erhält man: 
a9, 2.@rZ D,)u(D, — 2k) _ 2k(p—UWu(D, — 2%) : 
RE D;: ee D: 
Die entsprechenden Ausdrücke gelten für die übrigen @. Hiermit aber schliefst man, dafs die Quo- 
tienten aus den singulodistanten Durchmessern bei den Spiralen der ersten Art, für 
welche % negativ ist, abnehmen, dagegen bei den Spiralen der dritten Art, für welche 
k positiv ist, zunehmen, während wächst. 
10. Die zweite Naumannsche Diplospiralen-Hypothese. Es ist hier der Ort, mit 
einigen Sätzen auf die zweite Naumannsche Diplospiralen-Hypothese einzugehen. Naumann selbst 
hat hinsichtlich der aus dieser Hypothese entspringenden Theorie, wie oben schon bemerkt worden, 
nur einige wenige Andeutungen hinterlassen; doch aber scheint dieselbe aufs erste so nahe liegend, 
dafs sie wohl einige Berücksichtigung verdient. In seiner Abhandlung: „Über die Spiralen der 
Konchylien“ spricht er nämlich für die Verknüpfung zweier Spiralen zu einer Diplospirale fol- 
gende zwei Hypothesen aus: „Die in ihren Folgerungen einfachste Vorstellung ist unstreitig die, dafs 
man sich mit dem letzten Radius der inneren Spirale einen Kreis beschrieben denkt, um welchen 
sich die äufsere Spirale, gleichsam wie um ihr Fundament, dergestalt entwickelt, dafs ihr Windungs- 
abstand am Ende der ersten Windung gleich «qp“”! wird. Eine ganz andere, zwar an und für sich 
einfachere, allein in ihren Folgerungen etwas schwierigere Vorstellung ist die, dafs die erste Win- 
dung der äufseren Spirale sich unmittelbar um die letzte Windung der inneren Spirale der- 
gestalt entwickelt, dafs für jeden, durch den Umlaufswinkel « + 2 bestimmten Punkt dieser ersten 
Windung der Windungsabstand gleich ap“”!g° wird“. Es ist hierbei durch « der Grenzwinkel be- 
zeichnet, mit welchem die innere Spirale aufhört und die äufsere Spirale beginnt; unter 2 aber ist 
ein beliebiger Bruchteil des ersten Umganges der äufseren Spirale zu verstehen. Hiernach gelangt 
man nun in folgender Weise zur Gleichung der äufseren Spirale. 
Die innere Spirale, welche sich bis zu dem Punkte B (s. Fig. 2) entwickelt, sei eine 
Konchospirale, gegeben durch die Gleichung (2) 
P—op +, 
und zwar sei für den Punkt A m = 0, also für den Punkt Bm=1. Dam ist der letzte Win- 
dungsabstand der inneren Spirale, welcher zugleich der erste Windungsabstand der äufseren Spirale 
ist, AB=c(p — 1). Es sei ferner der beliebige Winkel AOZ = BOP, durch 2 bezeichnet und 
der neue Windungsquotient gleich q gesetzt.*) Dann hat man 
0Z=cp +k 
und i 
ZPR =cp — 1)9, PR co a, PB =cp —-1)gT u.=f. 
*) Im Sinne der von mir in $ 8 eingeführten Bezeichnung würde es zweckmälsiger sein, die beiden 
Windungsquotienten der Diplospirale durch p, und 9, zu unterscheiden. Es ist an dieser Stelle aber geboten, 
um im Anschluls an die Naumannsche Bezeichnung zu bleiben, statt jener Zeichen die Zeichen p und q zu 
verwenden. Später habe ich jener Bezeichnung den Vorzug gegeben (s. $ 24 ff.). 
