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6. Bedeutung der Konstanten » und a. Für irgend einen Punkt der Spirale sei der 
Radius 
= cp" + k; ' 
dann hat man für den vorwärts gelegenen singulodistanten Punkt den Radius 
R= cp" ti, 
und man erhält nun den Windungsabstand zwischen beiden Punkten 
w—= cp"(p —1). (3) 
Bezeichnet man irgend einen Bruchteil eines ganzen Umganges durch x, so dafs für Punkte 
der Spirale, welche um 45°, 90°, u. s. f. von einander entfernt liegen, beziehentlich e=4, «—=4, 
u. s. f., so gewinnt man offenbar für diejenigen Windungsabstände, welche vorwärts der Reihe nach 
um x, 2x, 3x u. s. f. von w abstehen, beziehungsweise die Ausdrücke 
er elp 1), en" (np a), 0 lo Du e.it 
d. h. beliebig viele äquidistante Windungsabstände einer Konchospirale bilden eine 
geometrische Progression. Bekanntlich gilt dieser Satz bei den logarithmischen Spiralen nicht 
blofs für äquidistante Windungsabstände, sondern auch für äquidistante Radien und Durchmesser. Für 
die Konchospiralen dem ersten und dritten Art ist aber solche Übertragung unzulässig. 
Wenn man insbesondere © = 1 setzt, so erhält man eine Reihenfolge singulodistanter Win- 
dungsabstände, nämlich: 
epr(p —1), er tip —1), rt?p—1, tip —i)usf 
oder auch 
w, wp, wp°, wp°® u. s. f. 
und man übersieht nun sogleich, dafs der Quotient aus zwei singulodistanten Windungsabständen 
jederzeit p beträgt. Die bisherigen Erfahrungen sprechen dafür, dafs in den Spiralen der Konchylien 
der Quotient » in der Regel einen sehr einfachen numerischen Ausdruck besitzt, also von hervor- 
ragendem morphologischem Werte ist. Daher ist dieser Quotient von Naumann durch den besonderen 
Namen des Windungsquotienten ausgezeichnet worden. 
Bekanntlich gilt für den Tangentialwinkel «, d. h. für den Winkel, welchen in irgend einem 
Punkte (r, p) der Kurve die Berührende mit dem Radius r bildet, der Ausdruck: 
r 
u Ce 
dp 
Mit Rücksicht auf (1) erhält man daher hier: 
n 
tan a = ur — A) « (4) 
Für unendlich grolse r folgt nun: 
lim tan « = "- oder auch lim cot « = w. 
Hiermit erhellt die Bedeutung von a: 1 ist die Kotangente desjenigen Winkels, welchem der 
Tangentialwinkel für unendlich wachsende @ zustrebt. Es ist bekannt und kann aus der Gleichung 
(4) sofort wieder ersehen werden, dafs für die logarithmischen Spiralen konstant 
1 
tan «a = - 6) 
.—. (5) 
ist. 
