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= und ee 
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wobei sich im allgemeinen nicht entscheiden läfst, ob k<0, oder k—=0, oder k>0. Wenn nun 
aber die Größse m ihren Grenzwert u erreicht hat, behält sie denselben unverändert bei, während » 
von Null an aufwärts zu variieren beginnt. Nunmehr läfst sich die Gleichung (A) auch schreiben: 
- Setlet Sen] ®) 
1 
a 
p—1 
Auch die Gleichung (D) ist offenbar wieder von der Form (2): man braucht zur Abkürzung nur zu 
setzen: 
R: 
ar 
— S und k=a+, et — 1) — 
wobei natürlich im allgemeinen wieder unentschieden bleibt, ob % positiv oder negativ oder gleich 
Null. Die zusammengesetzte eyklocentrische Konchospirale besteht hiernach aus 3 Stücken: 1. einem 
Kreis vom Radius «, 2. einem Bogen der Spirale (C), und 3. einem Bogen der Spirale (D). Die 
beiden Spiralen (C) und (D) stimmen der Gattung nach völlig überein. Da die Gleichung (A) als 
die allgemeinste alle übrigen Gleichungen Naumanns in sich schlielst, so ist in dem Vorstehenden 
der Nachweis geliefert, dafs die sämtlichen Naumannschen Kurven in der @leichung (2) enthalten 
sind. In der That, wenn man in der Gleichung (A) durchweg n = 0 setzt, so erhält man die Glei- 
chung der „einfachen eyklocentrischen Konchospirale“; oder wenn man @e—= 0 setzt, so er- 
hält man die Gleichung der „Diplospirale“, endlich wenn man sowohl n — 0, als auch «—= 0 
setzt, so erhält man die Gleichung der „einfachen Konchospirale“: 
De) 
In dieser Gleichung ist a als eine positive Konstante anzusehen. Naumann legte dieser Konstante 
grofsen morphologischen Wert bei und nannte sie den Parameter. 
Nach alledem dürfte es dem Geiste der Naumannschen Theorie völlig entsprechen, wenn 
man die durch die Formel (1) oder (2) definierten Kurven sämtlich Konchospiralen nennt. Dann 
bietet es sich mathematischerseits ganz von selbst dar, alle Konchospiralen nach dem Verhalten von 
k in die bereits oben angegebenen drei Arten zu scheiden, nämlich 1. die Konchospiralen mit 
negativem %, 2. die logarithmischen Spiralen, 3. die Konchospiralen mit positivem A. 
Die sogenannte „einfache Konchospirale“ Naumanns, deren Gleichung soeben angegeben worden, 
gehört der ersten dieser drei Arten an. 
5. Naumannsche Benennungen. Eine Reihe von aufeinanderfolgenden Punkten der 
Spirale, welche um gleiche Winkelgröfsen von einander entfernt sind, heilsen äquidistante Punkte, 
die zugehörigen Radien äquidistante Radien. Solche zwei Punkte der Spirale, welche um +, 
4, 4, eime ganze Umdrehung von einander entfernt sind, heilsen beziehentlich oktantodistante, 
quadrantodistante, semissodistante, singulodistante Punkte, die zugehörigen Radien ent- 
sprechend oktantodistante Radien u, s. f. Die Summe zweier semissodistanter Radien heilst 
Diameter oder Durchmesser, z. B. die Strecke OP, + OP, (s. Fig. 1), die Differenz zweier sin- 
gulodistanter Radien heilst Windungsabstand, z. B. die Strecke OP, — OP, (s. Fig. 1). 
Auch für die Diameter und Windungsabstände kommen die obigen Benennungen: äquidistant, semisso- 
distant, singulodistant u. s. f. wieder zur Verwendung. So sind z. B. die Durchmesser P,P,, P,P;, 
P,P, u. s. f. semissodistante, die Durchmesser P,P,, P,P,, P,P, u. s. f. singulodistante 
Durchmesser; und ebenso die Windungsabstände P,P,, P,P,, P,P, u. s. f. sind semissodistante, 
endlich die Windungsabstände P,P,, P,P, u. s. f. singulodistante Windungsabstände. 
2 
r4 
Yr= 
