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man an Stelle von r und @ beziehentlich — r und — g treten läfst. Es geschieht daher für viele 
Aufgaben und Sätze, welche die in jener Gleichung enthaltenen Kurven betreffen, namentlich auch 
was die Betrachtung der Gestalt dieser Kurven angeht, der Allgemeinheit kein Eintrag, wenn man ce 
und « als positiv ansieht, was im folgenden immer eingehalten werden soll. Dagegen sind bezüglich 
der Konstante % folgende drei wichtige Fälle zu unterscheiden: 
1) RE 0, 
2) 10.05 
3) k> 0. 
Es ist bekannt, dafs im zweiten Falle die Gleichung (1) logarithmische Spiralen darstellt. Um in 
Anschluls an die von Naumann bevorzugte Schreibweise seiner Gleichungen zu kommen, ist es er- 
forderlich, die Gleichung (1) wie folgt umzuändern. Man setze, indem man das Zeichen x in der 
herkömmlichen Weise verwendet 
ezun — p 
und 
Ka 
97 —m;, 
also 
e$ — pr 
Hiermit erhält man statt (1) 
r=op®" tk (2) 
Nunmehr mifst statt p die Grölse m den Winkel, indem sie die Zahl der Umgänge des 
Radiusvector in ganzen und gebrochenen Zahlen ausdrückt, so also, dafs m = 1 einen Winkel von 
45°, m = 4 einen Winkel von 90°, m = 4 einen Winkel von 180°, u. s. f. bedeutet. 
Ich gehe dazu über, an der „zusammengesetzten eyklocentrischen Konchospirale“ 
Naumanns, deren Gleichung die komplicierteste aller seiner Gleichungen ist, zu zeigen, wie dieselbe 
in der That auf die kürzere Form (2) zurückkommt. 
Naumanns Gleichung lautet: 
a & a R 
et mod en, a) 
wobei q und n analoge Bedeutung als beziehentlich 7 und m haben und zur Abkürzung 
= 
gesetzt ist, endlich «a und « gewisse Konstanten ausdrücken. Die Gröfse & insbesondere wurde von 
Naumann der Archiradius genannt. Derselbe ist der Radius eines Kreises, von welchem aus- 
gehend die eigentliche Spirale erst anhebt. Die angegebene Gleichung (A) ist aber nun in eigen- 
tümlicher Weise auszulegen. Man hat nämlich zuerst m = 0 und n= 0 zu setzen, so dals sich die 
Gleichung auf 
 v=a (B) 
reduziert. Man läfst jetzt ferner m von O0 bis zu einem gewissen endlichen Grenzwerte « heran- 
wachsen, wobei man noch immer n —= 0 beibehält. Während dessen lautet die Gleichung 
r=a+- 
1 
a © 
Diese Gleichung ist, wie man sogleich übersieht, von der Form (2), nämlich es ist 
[7 
: n ( 1) 
oder anders geschrieben: 
