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freilich in ihrem Erhaltungszustande bei weitem nicht alle den hohen Anforderungen, welche die Kon- 
chyliometrie zu stellen hat; als beste Ammoniten sind hiervon vielmehr nur 9 Stück auszuheben, und 
unter diesen 9 wieder findet sich nur ein einziger, ein Arcestes intuslabiatus, dessen Anfangskammer 
weder durch Ausbrechen noch durch Krystallisation gestört ist. 
Die Messungen der Ammoniten nun habe ich mit dem Naumannschen Konchyliometer 
ausgeführt. Dieses Instrument gehört der Sammlung des mineralogischen Instituts zu Leipzig an. 
Herr Professor Zirkel hat die grolse Güte gehabt, mir dasselbe zur Benutzung anzuvertrauen, wofür 
ich bei dieser Gelegenheit wiederholt meinen aufrichtigen Dank ausspreche: es sind mir durch diese 
Gefälligkeit für meine Zwecke die grölsten Dienste geleistet worden. 
Dieses Konchyliometer besteht aus einem Längenmalsstab, ‘welcher in 120 Millimeter ein- 
geteilt ist und mit einem Nonius in Verbindung steht, so dafs man Zehntel-Millimeter ablesen und 
auch die halben Zehntel noch mit Sicherheit abschätzen kann. Längs dieses Mafsstabes ist durch eine 
Mikrometerschraube ein Schlitten verschiebbar, welcher ein Mikroskop mit Fadenkreuz trägt. Das 
Mikroskop bietet 15-malige und 30-malige Vergröfserung. Der Schlitten gestattet längs zweier Schie- 
nen die Verschiebung des Mikroskops rechtwinklig zu jenem Mafsstab. Die Grölse dieser Verschie- 
bung lälst sich leider durch einen zweiten Mafsstab nicht bestimmen. Unter dem Mikroskop wird 
der zu messende Ammonit etwa mit Wachs auf einer horizontalen Drehscheibe befestigt, deren Durch- 
messer 145 Millimeter beträgt und deren Peripherie in halbe Grade geteilt ist. 
Man führt die Messungen aus, indem man den Mittelpunkt des Fadenkreuzes über den Pol 
der Spirale des Ammoniten bringt, dann aber mit Hilfe der Mikrometerschraube diesen Mittelpunkt 
in gerader Linie über den Ammoniten hinwegführt, um die Gröfse der Durchmesser und Windungs- 
abstände direkt durch Beobachtung zu finden. Diese Messungen lassen sich wiederholen, nachdem 
man den Ammoniten mit Hilfe der Scheibe aus seiner Lage um 45°, 90° u. s. f. herausgedreht hat. 
— Wie derselbe Apparat zur Messung von anderen Konchylien verwendet werden kann, hat Nau- 
mann in seiner Abhandlung „Über die Spiralen der Konchylien“ selbst beschrieben. 
1. Beiträge zur Theorie der Konchospirale. 
4. Die Naumannschen Gleichungen. Der nächste Zweck des ersten allgemeinen Ab- 
schnittes meiner vorliegenden Mitteilung ist es, eine Reihe von Sätzen, welche für die beschriebenen 
Messungen von Ammoniten von Wichtigkeit sind, wieder in Erinnerung zu bringen. Diese Sätze 
rühren teils von Naumann, teils von mir selbst her. Für meine eigenen Sätze gebe ich diesmal 
einfachere Beweisführungen, als ich früher gethan. Dann aber füge ich noch eine Anzahl neuer 
Sätze bei, und zwar namentlich solche, welche sich auf die zweite Diplospiralenhypothese Naumanns 
beziehen. Auf diese Weise hoffe ich Naumanns Absichten entsprechend seine Theorie vollständiger 
zum Austrag zu bringen, als bisher geschehen; denn er selbst hat es hinsichtlich dieser zweiten 
Hypothese fast nur bei einem Hinweis bewenden lassen. 
Um den Kalkül möglichst zu vereinfachen, ist es vor allen Dingen notwendig zu zeigen, dafs 
sich die sämtlichen Gleichungen Naumanns, durch welche er seine Kurven zu analytischem Aus- 
druck gebracht hat, auf die kurze Form 
r=ceP + k (1) 
zurückführen lassen. In dieser Gleichung bedeutet r den Radiusvector eines ebenen Polarkoordinaten- 
systems und @ den entsprechenden Winkel, bezogen auf denjenigen Winkel als Einheit, dessen Kreis- 
bogen gleich dem zugehörigen Radius; es bedeutet ferner e die Basis der natürlichen Logarithmen, 
endlich ec, « und % gewisse Konstanten. Sind die Konstanten c und « negativ, so wird man bei der 
Untersuchung der Gleichung (1) auf die Form mit positivem ce und positivem « zurückgeführt, wenn 
