147 



Mit Anwendung der Bachmannischen Resultate kann man 

 noch Folgendes hervorheben: Wir ordnen die Auflösungen der Grösse 

 nach, also 



K-j v^ Ro •^ K.3 «^ ..... , 



dann gilt die Rekursionsformel 



kh+i = 6kh — kh-, + 2. (2) 



Die ersten drei Werte sind k, == 2, k., = 14, kg = 84; alle kh sind 

 also gerade, was auch unmittelbar aus der Tatsache 



z ^ 1 (mod 4) 

 folgt. 



Die Rekursionsformel (2) liefert uns also nach dem obigen Satze 

 der Reihe nach auch die Stellenzeiger aller Trigonalzahlen tk, die mit 

 2 multipliziert wieder eine Trigonalzahl tn (2 tk = t„) ergeben. Es ist 



t = 3 = ^ 

 To ö 2 



tj, = 105 = -^ 



2 



u. s. w. 



ts4 = 3570 = -' 



Der Stellenzeiger n der Trigonalzahl t„ = 2 tk ergibt sich aus der 

 Formel 



— 1 + 1/ 8 k' + 8 k + 1 ,^, 



n = '—^ 2" ' (^) 



wo k nur die aus (2) sich ergebenden Werte annehmen darf. 



Der zweite Fall scheint mir bisher etwas vernachlässigt wor- 

 den zu sein. Zunächst folgt aus (II) 



x2 = 2 z — 1 (4) 



und umgekehrt 



z^^^. (5) 



es gehört also zu j edem ungerad en xeine Auflösung 

 vom Typus II; wenn wir die „uneigentliche" Lösung 



p j_o2= 12 



ausschliessen, so müssen wir x > 3 nehmen und erhalten so die 

 ersten Auflösungen 



X = 3 z = 5 



X = 5 z = 13 



X = 7 z = 25 



X = 9 z = 41 



u. s. w. 

 Nun setzen wir also 



x = 2m+l (m = 1, 2, 3, . . .) 



und erhalten aus (II) 



Zm = 2 m- + 2 m + 1. (6) 



Aus dieser indipendenten Darstellung von z„i erhalteh wir 

 durch Einsetzen von m -j- 1 statt m die Rekursionsformel für 

 den Fall (II): 



