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Z ,n + 1 ^ Zm + 4 (m + 1), (7) 



während für den Fall (I) die Bach mannische Rekursionsformel 



Zm + 1 = 6 Zm — Zm — 1 (7a) 



gilt. 



Zum Schlüsse wollen wir die Anzahlen A (N) und B (N) der 

 Auflösungen vom Typus (I), bezw. (11) bestimmen, deren Hypo- 

 thenusenzahl z eine gegebene positive ganze Zahl N nicht über- 

 steigt. 



Im ersten Falle hängen bekanntlich die rekurrenten Zahlen 

 Zm von der Skala 



X- — 6 X + 1 = 

 ab; es ist zugleich 



Zm ^^^ ^ Km ~h 2 »5m 



und 

 sowie auch 



s. ^ (^^)™ + C-^- r. 



Dabei ist A die Diskriminante der obigen quadratischen Gleichung, 

 also l/A 4 1/2. Wir schreiben 



1 /6 — 1/A\m 1 



und sehen, dass Sm eine positive, mit wachsendem m gegen die 

 Null konvergierende Grösse ist. Somit haben wir 



1 



Rm = -r^ (3 + 2 1/2)"^ - Sm, 



Sm = (3 - 2 \/2r -f V^- Sm 



und 



Zm - (3 + 2 l/T)-. ^^^ + 2 Sm (1/ 2 - 1) ^ N, (8) 



also jedenfalls 



2 -f 1/ Y 

 (3 + 2 l/^)'". Y ^ N. (1 - r,m), 



wo 



2 Sm 



■^.n = ^;;j- (1/2 — 1) 



ist. Daraus folgt sofort 



log N + log (1 - r|m) - log (2 + i/2) + 2 log 2 



log (3 -h 2 V2) 

 da jedoch 



l0g(l -Y]m) <0 



ist, erhalten wir für den Gleicheitsfall (Zm — N) 



m z. 



