Radnje poincareove i painleveove pripravile su putove sundmanu; 

 istina je, da danas znamo, da je već weierstrass imao te rezultate, 

 navlastito painleveove, no oni su ostali nepoznati za šire vrste ma- 

 tematika. 



Iz oblika diferencijalnih jednačaba u problemu triju tijela izlazi 

 lako, da gibanje triju tijela ostaje regularno, t. j. koordinate i brzine 

 ostaju holomorfne funkcije vremena tako dugo, dok su međusobne 

 daljine tijela veće od nule, ili s drugim riječima, dok se bar dva 

 od ona tri tijela ne sukobe, t. j. ne dođu u isti čas u istu točku 

 prostora. Ti su sukobi jedini singulariteti, koji mogu da pomute 

 regularni tijek gibanja u problemu triju tijela; zasluga je painleveova 

 da je to pokazao u poznatim svojim istraživanjima o analitičkoj 

 teoriji diferencijalnih jednačaba. Posljedica toga svojstva diferenci- 

 jalnih jednačaba našega problema jest, da bi se one dale potpuno 

 integrirati s gledišta kvantitativnoga, kada bismo a priori znali, koji 

 početni uvjeti vode do sukoba od bar dva tijela. Kad je naime 

 jednom sigurno, da dotični početni uvjeti ne vode do sukoba, dadu 

 se izraziti koordinate triju tijela (pokazao je to prvi poincare) kao 

 funkcije vremena beskonačnim nizovima, koji konvergiraju za sve 

 realne vrijednosti nezavisne promjenljive, t. j. vremena. Koordinate 

 bi bile razvijene u nizove po potencijama izraza: 



eat _ j 



e"^+ 1 



gdje je a zgodno odabrana veličina: a mogli bismo se za te razvoje 

 poslužiti i novijim rezultatima Mittag-lefflera o razvoju monogenih 

 analitičkih funkcija i na taj način prikazati koordinate triju tijela ni- 

 zovima, što bi vrijedili za sva vremena. — Kada bismo opet imali 

 početne uvjete, za koje znamo da vode do sukoba, razvili bismo 

 koordinate triju tijela u istom onom obliku od početnoga časa pa 

 do časa sukoba; a što se događa poslije toga, o to-me nam oni 

 nizovi ne bi mogli reći ništa. 1 stoga je painleve jasno izrekao : da je 

 precizno određenje uvjeta za sukob ekvivalentno s potpunom inte- 

 gracijom problema triju tijela. 



Radi se dakle o tome, da se nađu one relacije između početnih 

 uvjeta, koje vode do sukoba. U osobitom onom slučaju, kad se tri 

 tijela gibaju uvijek u istoj ravnini, ispitao je te uvjete (ili bolje, taj 

 uvjet, jer je u tome slučaju samo jedan) levi-Civitä u sv. 30. Acta 

 Mathematica, i to napose u onom slučaju problema triju tijela, koji 

 se zove probleme restreint ili asteroidni problem. On je 

 konstruirao jednu uniformnu analitičku funkciju početnih uvjeta; a po- 

 godba za sukob je ta, da se ta funkcija poništava. U općem problemu 

 našao je poslije toga bisconcini u radnji svojoj u Acta Mathe- 

 matica sv. 30. dva analitička uvjeta (kako je painleve i predviđao) 

 među početnim veličinama, koji karakteriziraju ona gibanja, u ti- 

 jeku kojih dolazi u konačnom vremenu do sukoba dviju točaka. 



No primjena bi tih teoretičkih razmatranja, koja vode do dosta 

 zamršenih izraza, bila nezgodna u praksi. Stoga su metode i rezul- 

 tati Sundmanovi, kod koga su izvodi daleko jednostavniji, pobudila 

 i čuđenje i divljenje matematika. Postupak Sundmanov, koji ga je 



