17 



čija težih slučajeva. Pa tako vidimo Poincarea, da u prvoj od one 

 četiri svoje radnje, obrađuje jedan relativno jednostavan kvalitativan 

 problem, koji mu služi kao ishodište i priprava za daljnje, teže pro- 

 bleme, u kome se nadao da će ugledati bar neki putokaz i za rje- 

 šavanje onog problema, o kome je toliko razmišljao, problema o 

 stabilnosti Sunčeva sustava. Pogledajmo i mi jednostavni taj slučaj 

 kvalitativne analize, pripazimo na nove metode u tome području, 

 jer će njima srodne metode imati jamačno veliku ulogu i kod kva- 

 litativnog rješenja problema triju tijela. 



Taj jednostavni slučaj, od koga polazi Poincare, je proučavanje 

 realnih krivulja, koje su definirane diferencijalnom jednadžbom prvoga 

 reda i prvoga stepena: 



dx dy 



gdje su X, Y polinomi od x i y. S pomoću čisto analitičkih razvoja 

 za tražene funkcije x i y dale bi se izračunati vrijednosti funkcija 

 definiranih tom diferencijalnom jednadžbom, razvoji bi nam dali veći 

 ili manji dio traženih funkcija, ali ovdje se radi o tome da se sna- 

 đemo u mnoštvu prerazličnih tih krivulja, karakteristika, da im iz- 

 nađemo oblik i raspored. Poincare je razmrsio zamršen tečaj njihov; 

 provodičem su mu bile singularne točke gornjih diferencijalnih jedna- 

 čaba; uvidio je naime, da one upravljaju tijekom tih karakteristika 

 u svojoj blizini, a i inače nam daju obavijesti o vladanju krivulja. 

 Od mnogostrukih tih singularnih točaka najjednostavnije i osnovne 

 jesu ove četiri*) : rastjecišta (cols), čvorišta (noeuds), žarišta (foyers), 

 središta (centres). Evo kako različno teku krivulje u blizini tih to- 

 čaka: /. u rastjecištima se sijeku dvije krivulje definirane našom 

 diferencijalnom jednadžbom i samo dvije; kada se dođe po jednoj 

 od tih krivulja do te singularne točke, tada se ona cijepa i odanle 

 kao rastječe u tri smjera ; 2. u čvorištima se križa beskonačno mnogo 

 krivulja; izvan tih dviju kategorija točaka ne sijeku se naše karakte- 

 ristike nigdje drugdje; 3. oko žarišta ovijaju se krivulje sve tješnje 

 i tim mu se ovijanjem sve više asimptotički primiču (na pr. poput 

 logaritmičke spirale), a 4. oko središta, singularne točke, što se javlja 

 samo u osobitim slučajevima, nanizaše se zatvorene krivulje, koje 

 to središte okružuju i od kojih svaka vanjska krivulja obuhvata sve 

 nutarnje. 



Iz potanje se diskusije razabira, kako su bitno uporište za pro- 

 učavanje tijeka krivulja te singularne točke: krivulje koje teku inače 

 mirno jedna kraj druge, ne presijecaju jedna druge, ne sabiru se u 

 osobite skupine, vladaju se u blizini singularne točke, kako vidjesmo, 

 na osobit način i već se time zamršeno mnoštvo raspliće i sređava. 

 No navlastito nam znatnih obavijesti daju, kad promatramo tijek kri- 

 vulja u cijelosti. U nekim se od njih (to su čvorišta i žarišta) krivulje 

 završuju i ne teku dalje i to na jednom svom kraju iU na obadva 

 (u tom posljednjem slučaju imamo potpun pregled tijeka krivulje), 

 pa se tako prirodno ističe osobita ona skupina krivulja, koje mo- 



*) Drugi zamršeniji singulariteti nastaju, kad se kombinira po nekoliko 

 tih jednostavnih singulariteta. 



Glasnik hrv. prirodoslovnog društva. ^ 



