18 



žemo slijediti bez kraja i konca ne namjerivši se nigdje na singu- 

 larne točke, i za koje Poincare spoznaje, da su ili zatvorene krivulje, 

 t. ZV. ciklusi, ili spirale. Tako se karakteristike dadu svrstati u četiri 

 kategorije: to su /. ciklusi t. j. zatvorene krivulje, 2. spirale t. j. 

 krivulje, koje teku tako, da nikada ne uđu u čvorište, da se nikada 

 ne bliže zavojito žarištu i nikada se u sebe ne vračaju, 3. karakte- 

 ristike, koje teku nesmetano u jednome smislu, t. j. ne ulaze u čvo- 

 rište, ne bliže se žarištu, no u tijeku svome u drugome smislu ili 

 ulaze u čvorište ili se asimptotičkim ovijanjem približuju žarištu i 

 time svoj tijek u oba slučaja završe, i 4. karakteristike, koje se i 

 na jednom i na drugom kraju namjere ili na žarište ili na čvorište. 



No potpun pregled svih odnošaja kod karakteristika dobiva 

 se s pomoću jednog novog, intuitivnog elementa, koga Poincare uvodi 

 u svoja razmatranja: on promatra, kako se vladaju karakteristike 

 spram nekih krivulja, što ih mi sami u ravnini narišemo; napose, 

 dotiču li se karakteristike tih narisanih krivulja ili ne dotiču, da li u 

 parnome ili neparnome broju točaka i t. d. Medu tim narisanim kri- 

 vuljama ističu se tako osobito t. zv. ciklusi bez kontakta, to 

 će reći zatvorene krivulje, koje se ni u jednoj točkoj ne dotiču ni 

 jedne od krivulja, što zadovoljavaju našu diferencijalnu jednadžbu. 

 Egzistencija tih ciklusa bez kontakta važna je za određivanje naravi 

 karaktreristika. lAleđu ostalim dade se pokazati, da ni jedna od naših 

 krivulja ne može s takvim ciklusom imati zajedničku više nego jednu 

 točku; kad dakle krivulja iziđe jednom iz ciklusa bez kontakta, 

 nikada se više ne će moći u n] povratiti; ako je smatramo stazom 

 materijalne točke, ta je staza instabilna. Vidimo o^latle, kako je po- 

 jam instabilnosti vezan uz taj nov, intuitivan pojam Poincareov. Iz 

 proučavanja singularnih točaka i dodira karakteristika može Poincare 

 da poda potpun pregled njihovih svojstava. Kao rezultat cijele svoje 

 analize izriče poincare poučak, koji dominira svom diskusijom tijeka 

 karakteristika i do koga ga čisto analitički razvoji nebi mogli nikada 

 dovesti; on spoznaje, da se ravnina dade u svakom slučaju prekriti 

 s beskonačno mnogo zatvorenih krivulja, koje jedna drugu obuhva- 

 taju, te nas oblikom svojim i rasporedom sjećaju niveau-krivulja u 

 topografskome planu, a različne su naravi. Jedno jesu ciklusi bez 

 dodira, koji pripadaju zadanoj diferencijalnoj jednadžbi, no nijesu rje- 

 šenja njezina; a drugo su oni prije spomenuti ciklusi, t. j. zatvo- 

 rene krivulje, koje zadovoljavaju diferencijalnu jednadžbu, dakle pre- 

 dočuju jedan oblik, što ga mogu imati krivulje definirane diferencijalnom 

 jednadžbom. Ako karakteristika nije ni ciklus, niti se ne svršava u sin- 

 gularnoj točki (niti asimptotički približuje), tada je spirala, koja se 

 ovijajući asimptotički približuje izvjesnim ciklusima, nazvanim gra- 

 nični ciklusi. — I granični ciklusi poput onih bez kontakta utječu 

 bitno na stabilnost ili instabilnost staza, jer materijalna točka, koja 

 se nalazi u nutrinji takvog graničnog ciklusa, ne će moći nikada da 

 ga pređe te će ostati u njemu. 



Poznavanje tog u neku ruku topografskog plana naše diferen- 

 cijalne jednadžbe daje nam da diskutiramo potpuno sve oblike, koje 

 mogu imati krivulje definirane tom diferencijalnom jednadžbom. Bio 

 je to prvi slučaj potpune kvalitativne analize. — Eto rezultata sasvim 

 novih, neslućenih, dobivenih sasvim novim metodama. 



