19 



Kod prijelaza na diferencijalne jednadžbe prvoga reda, a višega 

 stupnja, ulaze opet novi pojmovi. Diferencijalna jednadžba neka je 

 zadana ovako : 



''(^•^'^)=''' 



gdje je F polinom u x, y, j-. Poincare uvodi najprije tri pomoćne 



promjenljive i-, '/], C tako, da su x, y, J, racionalne funkcije od i, r;, C, 



koje tada uzima kao koordinate točke u prostoru; relacija F= o znači 

 tako neku algebarsku plohu. Osobito važna spoznaja, koja niče kod 

 toga problema, je ta, da razlika među prvrm slučajem, kad je bila 

 diferencijalna jednadžba prvoga stupnja, i ovoga slučaja, kada je višeg 

 stupnja, ne stoji do stupnja, nego do drugoga nečesa, što je u ovom 

 području sasvim novo : do roda (genrea) algebarske plohe F = o. 

 Taj novi elemenat u kvalitativnoj diskusiji, rod, bitni je elemenat. 

 Onako, kako je nekoć pomogao u teoriji algebarskih funkcija, dao 

 intuitivan pregled različnih odnošaja njihovih, tako je i ovdje; tako 

 je svagdje, kako ističe Hadamard, koji je to otkriće Poincareovo s ve- 

 likim uspjehom dalje proširivao, gdje treba prijeći od lokalnoga stu- 

 dija funkcije na studij njen u cijelom opsegu njezinu. Inače je disku- 

 sija kod tih diferencijalnih jednačaba analogna onoj u prvome slu- 

 čaju; one četiri singularne točke dolaze i ovdje i svojstva su im 

 ista. Ima ipak bitna jedna razlika, kad je rod diferencijalne jednadžbe 

 veći od 0, kad je ploha na pr. torus; tiče se ona ciklusa bez do- 

 dira i različnog vladanja karakteristika spram njih, a posljedica je ta, 

 da u tome slučaju ima daleko više stabilnih staza nego u prvome, 

 kada je stabilnost bila tek izuzetak. 



Kod prijelaza na diferencijalne jednadžbe drugoga reda javljaju 

 se nove teškoće, koje nijesu sve ni svladane; ti su slučajevi već 

 srodni s diferencijalnim jednadžbama mehanike, ma da su još uvijfek 

 jednostavniji. Ovdje susrećemo četiri vrsti osnovnih, jednostavnih 

 singularnih točaka: čvorišta, rastjecišta, žarišta, žarišna rastjecišta 

 (njima prolazi samo jedna krivulja, no beskonačno se mnogo kri- 

 vulja, koje tvore plohu, asimptotički približava toj singularnoj točki), 

 ali se javljaju i singularne krivulje. Kod diferencijalnih jednačaba 

 prvoga reda i prvoga stepena vidjesmo, da nam singularne točke 

 daju glavna svojstva krivulja; ovdje one ne ravnaju u tolikoj mjeri 

 tijekom krivulja, da bi određivale narav integralnih krivulja. Da 

 prodre ovdje u narav njihovu, Poincare se utječe intuitivnom pojmu : 

 on polazi od zatvorene jedne integralne krivulje i promatra oblik i 

 općeni raspored drugih integralnih krivulja, što se nalaze u području, 

 koje okružuje dovoljno blizu tu zatvorenu krivulju. Time može 

 PoLvcARE diskutirati tijek tih krivulja, no do kraja, kao u prvom slu- 

 čaju, nije mogao doći. Rezultati su i ovdje takovi, da nas račun sam 

 ne bi nikada do toga doveo. 



Ta zatvorena integralna krivulja ima sada onu ulogu, koju je 

 .prije imala singularna točka, samo još općeniju. Ova misao, da se 

 uvede zatvorena integralna krivulja, a susjedne krivulje da se pro- 

 učavaju s obzirom na nju, od velike je važnosti. Hadamard, koji je 

 bio jedan od rijetkih matematika, što je pošao putem, kojim je prvi 



