20 



udario Poincare, poslužio se u istom smislu takvom zatvorenom kri- 

 vuljom u srodnome jednom problemu, u određivanju oblika geodet- 

 skih linija na plohama negativne zakrivljenosti. On karakterizira fun- 

 damentalnu ulogu tih zatvorenih krivulja još i jasnije; one su njemu- 

 neka vrst koordinatnoga sustava, na koji se odnose sve druge kri- 

 vulje. U toj radnji hadamardovoj o geodetskim linijama sadržan je 

 drugi slučaj, u kome je uspjelo do kraja provesti kvalitativnu disku- 

 siju krivulja, ovdje geodetskih linija. I ona sadržaje nada sve važnih 

 vidika za kvalitativnu integraciju diferencijalnih jednačaba. Analysis 

 Situs ostaje podlogom za topološku diskusiju geodetskih krivulja 

 na tim plohama negativne zakrivljenosti; no bitno utječe kod uspjeha 

 i originalna jedna metoda Hadamardova, koja nas u čudo dovodi jedno- 

 stavnošću i općenitošću svojom u jednu ruku, a izdašnošću u drugu. 

 Hadamard je naime opazio, da se u maksimumima i minimumima 

 pomoćne jedne funkcije V, koja zavisi o zavisnim promjenljivama 

 problema i njihovih derivacija, zrcale svojstva krivulje, koju te pro- 

 mjenljive definiraju. Tim principima dolazi on intuitivno do pregleda 

 svih mogućih oblika, što ih mogu primiti geodetske krivulje na plo- 

 hama negativne zakrivljenosti. Tu su najprije zatvorene geodetske 

 krivulje, koje jednom nađene služe kao ishodište za traženje drugih. 

 Zatim su geodetske krivulje, što se asimptotički ovijaju oko zatvo- 

 renih krivulja. Treće su one geodetske krivulje, što se protežu a 

 neizmjernost, a četvrto su geodetske krivulje, koje ostaju u konačnoj, 

 daljini i ovijaju se oko jedne zatvorene geodetske krivulje sve tješnje, 

 no tada se stanu opet odvijati, udaljuju se od te krivulje i počinju, 

 se slično približavati drugoj jednoj zatvorenoj geodetskoj krivulji još 

 tješnje nego prvoj i tako redom dalje bez kraja i konca. Osim toga 

 zanimljivog rasporeda krivulja, o kome nije nitko mogao ni slutiti, 

 otkrio je hadamard još jednu činjenicu u namještaju njihovu, koja 

 je u svezi s pojmom, za koji nije očekivao, da će ga ovdje moći 

 upotrijebiti: skupom perfektnim, koji nije neprekidan. Kada se po- 

 vuku tangente na geodetske krivulje, koje izlaze sve iz jedne točke 

 plohe, a ostaju u konačnoj daljini, tada tvore te tangente takav 

 skup. I iz drugih se činjenica kod kvalitativnog studija diferencijalnih 

 jednačaba vidi, da će teorija skupova imati u pitanjima te vrsti znatnu 

 ulogu. Napose to izlazi iz istraživanja američkoga matematika G. D. 

 BiRKHOFFA, koji služcći se pojmovima teorije skupova analitički izvodi 

 poučke velike općenitosti o tijeku staza. Hadamard ističe i ovo, što 

 također jasno pokazuje teškoću problema o potpunoj integraciji di- 

 ferencijalnih jednačaba, da narav, vladanje integralnih krivulja može 

 stajati i do diskontinuiranih, aritmetičkih svojstava konstanata inte- 

 gracije; u toku tih svojih istraživanja našao je, da se svaka stabilna 

 geodetska krivulja može prometnuti u sasvim instabilnu beskonačno 

 malom promjenom početnih uvjeta. Iz toga on izvodi jedan zaključak 

 i za staze nebeskih tijela u Sunčevu sustavu ; ako se naime ta okol- 

 nost javlja i kod tih staza, a to a priori nije nemoguće, ne bi se 

 moglo ni govoriti o stabilnosti Sunčeva sustava. 



Ovo su neke bitnije točke iz novijih istraživanja o integraciji 

 onih diferencijalnih jednačaba, koje se ne daju integrirati elementarno. 

 Te su studije nužna priprava za istraživanja te vrste u problemu 

 triju tijela i Poincare ih je u toj namjeri i započeo. One ostaju isho- 



