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ainsi nons avons demontre les equations (3) et (4). 



Avec des considerations faciles semblables on peut aussi de- 

 duire les formules plus generales 



m /T (x) - TT (m X) = m log m. ii n (x) + ^^ ( 1^^ ) '^^ 



et 



m n (X) — FI (in xi ~ m log in. ii ii [xv . (7a) 



En ecrivant l'equatiun (4/ daiis la forme 



77 (2 X) = 2 TT (X) - 2 log 2. n j/7 (x) j ^ o (^ -i^yö^- ) , i4a) 



on recoit une relation, qii sert ;i calculer approximativement le nom- 

 bre des nombres premiers de 1 ä 2 x, si on connait le nombre des 

 nombres premiers compris entre 1 et x. 



Nous allons maintenant etablir un theoreme d'addition plus 

 general. Pour calculer 



77 (x) + n (y) (x ^ y) 



je pose X =^ k y (k doit etre fixe); on a n (y) = n (y^ 



et 



n 

 il vient 



(X) ^ k n (y) - k log k. ri j n (y) j + « ( -^^^) "' 



77 (X) + 77(3^) = (k-^ 1). 77 0;)-^logA'.77 ] ^ (j^) J ^ ^ ( Jog^; ) 



ou 



n (X) ^ 77 (;;) - '^' n (y) - ^; log ^ 77 J77 (y)j + o ( ^^^^ ) 



et (8) 



77 (X) + 77 iy) CV3 '^^' . n(y)- ^- log ^ • 77 j 77 (y) j. (9) 



Pour determiner n (x — y) je pose de nouveau 

 X ^ y et X = k. y {k constant) ; 



on trouve 



77.(x^ y)= n {(A-- 1) 3; j ; 



de la relation (7) on tire d'abord 



77 (X H- y) =ik^ 1). 77 iy) - {k ^ 1). log (Ar + 1). 



77 ^ 77 (y) ' -^ ( , ^ , ^ 

 \ ^^^ J V log y ) 



