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Berechnung ihrer Summe, selbst wenn man eine Million Glieder mit- 

 nimmt, noch einen enormenFehler begeh'n, und für a; =z Einer Billion 

 mOsste man weit über eine Billion Glieder addiren, um einige Aa- 

 nähernng zu erhalten; etc. 



Die Möglichkeit also, dass die vorgelegte Reihe in der Gegend 

 von £ := 0, oder in der nächsten Nähe des Werthes x der Variabein,. 

 Stellen hat, wo sie beliebig langsam convergirt, lässt sich nicht 

 leugnen. Es kann also geschehen, dass sich die in den obigen Er- 

 örterungen mit A bezeichnete endliche Zahl nicht angeben lässt, und 

 alsdann bricht der ganze Beweis von der Continuität der Function 

 J*^ (x) zusammen, welcher nuter (I.) auf die Voraussetzung der Exi- 

 stenz eines solchen Werthes gegründet worden, und in der That 

 nur eine detaillirtere Ausführung desjenigen Beweises ist, welchen 

 Caiichy am angeführten Orte mittheilt. Man würde sich auch ver- 

 gebens für diesen Fall nach einem andern Beweise umsehen; das 

 thatsächliche Vorhandensein convergirender Reihen, welche discon- 

 tiüuirliche Functionen einer Variabein repräsentiren, von der ihre 

 einzelnen Glieder stetig abhängen, lässt an einen solchen nicht denken. 

 Man kann also nur schliessen, dass Reihen dieser Art in der Nähe 

 desjenigen Werthes der absolut Veränderlichen, für welchen sie 

 springen, sich nothweudig in dem hier mit II. bezeichneten Falle 

 befinden müssen; also in der Gegend dieses Werthes beliebig lang- 

 sam convergiren, diesen Ausdruck in dem Sinne genommen, welcher 

 festgestellt worden ist. Hiermit ist das oben aufgestellte Theorem 

 erwiesen. 



Man sieht, wie bei solchen Reihen die Darstellung der Discon- 

 tinnität der Summe gewissermassen durch eine Discontinnilät im Ver- 

 halten der Reihe selbst erreicht wird. Die Convergenz derselben 

 wird in der Nähe der Stelle, wo die Functionalwerthe springen, 

 immer geringer, d. h. um dadurch, dass man die Reihe irgendwo 



