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ersten oder zweiten Richtung^ mit der zweiten oder ersten Richtung 



macht, so dass 



COS. v\ :=cos. «1 COS. 82 + cos./?, cos. bj -j-cos. y, cos. Cj und 

 COS. 1/^' ^ =: cos. «2 COS. a j -|- cos. ß^ cos. b ^ -{• cos. y^ ^ os. c , 



ist, so gehen diese beiden Gleichungen dadurch, dass man in sie für 

 COS.«!, cos.|5,, cos.yi oder cos.a^, cos./ij, cos.j', ihre aus den Glei- 

 chungen (1. d) oder (2. b) entnommenen Werthe einsetzt, über in: 



I sin.^Pj cos. »/'", ^cos. ^-cos. 9j cos. ^2 und 



'■ -* ( sin. ^2 <^os.i/^\ ^cos. ^-cos.^j cos.^j, 



wenn A den Winkel bedeutet, den die erste und zweite Richtung unter 

 sich einschliessen, und aus diesen beiden Gleichungen folgt sogleich 

 noch, dass 

 (2. e) sin. ^i cos. i/^\ 3;sin.9>.2 cos. V 2- 



Bezeichnet man den Winkel, welchen die zu beiden Richtungen 

 gehörigen projicirenden Ebenen mit einander bilden, durch x, so ist 

 den bekanntesten Relationen der analytischen Geometrie zur Folge : 



(i. u cos.;r_^7====^--^==^=, 



und man darf in dieser Gleichung für A,, B,, Ci und Aj, B,, C, 

 deren durch die Gleichungen (1. b) und (2. a) ihnen zugewiesene pro- 

 portionale Zahlen setzen; thut man diess, so wird 



AjA2+BjB2 + CjC2 =: (cos. ^ — cos. y^ cos. y2).K , 

 \^A2+Bf-|-Cf • \^A2-f-B| + C2 = sin. 5P, sin. ^^.K , 



und mittelst dieser Auswerthungen verwandelt sich die Gleichung (2. in: 



rn „^ cos. -^ — cos. o". cos. 9", 



(2. gl COS. /:= : r^-J ^, 



*■ ^-' ^ A, Sin. y, sm. 5P2 ' 



vorausgesetzt, dass man für V^Af +Bf 4-Cf ««d V'a? 4-B5 +C? 

 jedesmal nur den positiven Wurzelwerth nimmt, wo dann x stets zugleich 



