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Aus den Gleichung-en (I. a) und (1. b) lassen sich sogleich die 

 andern abieilen: 



COS. acos.«'=cos2.acos-.i -\- cos.acos.isin.asin.i (cos. w-f-cos.w')' 



-|- sin*, a sin*, i COS. CO COS. w', 



cos 2. « = COS - . a cos ^. i -|- 2 cos. a cos. i sin. a sin. i cos. w 



-f-sin^.asin^.icos^.to, 



cos 2 . a' == cos ^. a cos-, i -|- 2 cos. a cos. isin. a sin. i cos. w' Vs. a) 



-(-sia^.asin^.icos^.to' 



und die Summe der letzten beiden liefert noch: 



cos'-.«-(-cos2.a'rz:2cos-.acos*.i-|-2cos.acos.isin.asin.i(cos.w 

 -|-cos.w')-f sin-.asin^.ifcos-.w-j-cos-.co').! 



Aus der ersten und letzten der Gleichungen (3. a) findet man: 

 cos2.«4-cos-.«'-2cos.acos.«' = sin^.asin2.i(cos.w-cos.w')^; (3. b) 

 weil ferner 



sin*.«sin-.K'i:zl — cos-.« — cos2.«'-|-cos-.«cos''.a' 



ist, oder wenn man für cos-.« -j- cos-.«' seinen Werth aus (3. b) 

 einsetzt : 



sin2.«sin2.«':z:(l — cos.«cos.«')^ — sin^.asin-.iCcos.w — cos.w')*^ 



so findet man bis auf vierte Potenzen von sin. i genau: 



sin.asin.«'r=l~cos.«cos.«' — 4sin2.asin2.i^-^5^'^^-^5^^; (3. c) 



■* 1 — COS. «COS.«' ' "^ -' 



aus der ersten Gleichung (3. a) erhalt man aber: 



1 - COS. « cos. «' = sin - . a - cos. a cos. i sin. a sin. i (cos. w -f- cos. w') j 



-}-sin*.i[cos*.a-sin'-.acos. tocos. tu'] ) ^ •' 



und hierdurch verwandelt sich die Gleichung (3. c) bis auf dritte Po- 

 tenzen von sin. i genau in: 



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