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Bezeichnet man momentan mit 3 «nd 9i die Zähler und Nenner der Nä- 

 herungsbrüche des so umgestalteten Kettenbruchs, so hat man dabei 



Q*-V I 3r = A, A. . . . Ar 2r 



^ ^ 1% — A,A^ . . . A. K 



woraus sich, um dies im Vorbeigehen zu bemerlven, auch ergibt, dass 

 in der Form 9) Jeder Ketlenbruch enthalten ist, der mit dem ursprüng- 

 lich vorgelegten dieselbe Reihe von Näherungsbrücheii hat, oder ihm 

 äquivalent ist. 



Das Factorensystem A^, Aj . . A„ kann benutzt werden, um, der 

 \oilen Allgemeinheit unbeschadet, das Willliührliche in der Form eines 

 Ketlenbruches zu beseitigen, indem man jeden auf eine beliebig ge- 

 wählte Normalform reducirt. Man könnte den Gedanken haben, zu die- 

 ser Form eine derjenigen besondern Gestalten zu wählen, aus welcher 

 der Bruch sich in eine vollständig angebbare Reihe verwandeln lässt, 

 (welches am einfachsten dann geschieht, wenn die N^, N, , Nj . . . 

 in Gl. 8. sämmtlich t=. 1 gemacht werden); ein solcher Versuch wird 

 indess durch den Umstand vereitelt, dass die Bestimmung der A gemäss 

 der angedeuteten Bedingung zwar immer möglich ist, aber diese Fac- 

 loren sich dabei selbst nur durch Kettenbrüche immer zunehmender Glie- 

 derzahl ergeben, so dass man sich nur in einem Cirkel bewegen und 

 aus dem Gebiete, in welchem man sich einmal befindet, nicht hinaus- 

 kommen würde. Blan kann daher keine passendere V\'^ahl der Factoren 

 A treffen, als diejenige, durch welche die Zähler des Bruches in 9) 

 sämmtlich auf Eins gebracht werden: die negalice Einheit empfiehlt sich 

 dabei vor der positiven durch verschiedene Rücksichten, von welchen 

 die Betrachtung, dass mit a •.= -f- 1, nicht wie mit a := — 1 die alter- 

 nirenden Zeichen der Reihe 8) in gleiche Zeichen übergehen, die zu- 

 nächst sich darbietende, aber nicht die erheblichste ist*). Die Be- 



*i Wichtiger ist sciion die Bemerkung, dass, wenn alle Partialzahler auf ne- 



