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Diesen Schlüssen lassen sich tinigc ähnliche anicihen, welche sich 

 auf andeim Wege ergeben. Setzt man nämlich bei einem Bruche, der 

 bereits in reducirter Form gedacht wird, 



17) b„ + , = 2 + t,.i, (für n > 0) 



so nimmt die zweite der Gleichungen 3) die Form an 



N„+, — N„ = CN„ — N„-0 + «.■f.-N. 

 aus welcher sich sofort auch ergib?, 



Nn+, — N„ =N,— No-f e,N^ -f «3 N2 +«4 N3 +... + ?„+, N„ 

 oder auch, wenn e^ (abweichend von den übrigen t) durch die Gleich- 

 ung definirl wird: 



17a) bj = 1 + «j 



so hat man 



18) Na.— N„ =*J+s.^N^-f-£3N, + ...-|-f„i:.N„ 



Hieraus ist sofort klar, dass, wenn in einem vorgelegten Kettcn- 

 bruchc kein negatives « vorkommt, derselbe auch nur auf positive, und 

 immer zunehmende, N führen kann, d. h. dass in diesem Falle der be- 

 ständig und immer langsamer sinkende Gang der Näherungsbrüche nie- 

 mals eine Unterbrechung erleiden wird. Ein solcher Bruch wird zu- 

 gleich, wenn nicht alle seine e rz sind, convergiren, weil für ihn 

 (zufolge Gl. 18) die Grössen N in der Reihe 8) wenigstens eben so 

 schnell als die Glieder einer ariihmctischcn Reihe zunehmen. 



. ) nalloö 



Ein entgegengesetztes Verhallen ergibt sich, wenn man annimmt, 

 dass von irgend einer Stelle an in dem Bruche keine positiven t mehr 

 vorkommen, während negative s, die dabei ihrem absoluten Werthe nach 

 grösser seien als eine (beliebig kleine) Grösse ^ immer aufs Neue auf- 

 treten sollen, soweit man auch fortgeiien mag. In diesem Falle beweist 

 man leicht, dass die Reihe der Grössen N unendlich oft Zeichenwcchsel 

 haben muss. Denn wollte man im Gcgenlheil annehmen, N, und alle 



