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biüche des hier belrachteten Bruches Vk.i.oo ohne Schwanken immer in 

 Einem Sinne fortgehen. Dasselbe wird, zufolge der in GL 13) ausge-*- 

 sprochenen Beziehung zwischen dem Gange irgend eines Kettenbruchs 

 und dem seiner Ergänzung , zuletzt auch der Fall sein bei jedem an- 

 dern, der dasselbe Ende hat, also z. B. bei dem Bruche: 



1 _ Ji'i« .Htufi labo 



Wenn, wie in dem Beispiele, von irgend einem Bruche, dessen b 

 sich der Zahl 2 von unten her nähern, bewiesen ist, dass er nur posi- 

 tive N hat, so wird dasselbe bei jedem andern der Fall sein müssen, 

 dessen b sich rascher als die des ersten dem asymptotischen Werthe 2 

 nähern. Denn man beweist leicht, dass seine N sämmtlich grösser aus- 

 fallen als dib des ersten*). Auch kann man behaupten, dass der 2te 



. j — 



*) Drei aufeinanderfolgende Näherungsiienner des ersten Bruches seien Nm-i , 

 -Nm , Nm+i. Durch irgend eine Veränderung, die man an dem Bruche an- 



,0.21« 



bringt (etwa Vergrösserung eines b) sollen übergehen Nm-i In N'm-i = 

 Nm-i (1 + a) , Nm in N'm = Nm (1 + /?) WO < « < /?sei. So wird 

 gleichzeilig übergehen Nm+i in N'm+i =; Nm+t (i + y) wo y >■ ß ist. 



-s.c, .i.Denn es istN'm+, = trm+i N'm — N'm-i =(1 +/9) bm+i. Nm — (1 -f- a) Nm-i 

 = {1 -)- ß) (bm+,.Nm,— Nm.i) + ((9 — «) Nm- 1 = (1 -\- ß) Nm+, + ein« 

 positive Grösse. — Denkt man sich also in einem vargelegtt'n Bruche, der 

 nur positive N bat, zuerst etwa bm vergrüssert um Abm , so wird dadurch 

 direct Nm vergrössert um Abm Nm-i, d. h. man erhalt ein positives 



"■ " "/?, 'vi^ährend «'==0 ist. Sofort wird also auch Nm4.i vergrüssert, und zwar 



