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demselben Factot abwechselnd zu miiltipliciren und zu dividiren (wodurch 



die Verhältnisse der auf einander folgenden Nühcrungsbrüche nicht ge-r. 



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ändert werden) so kann man für diesen Factor die Grösse f/jr neh- 



men; nachdem die Operation vollzogen ist, werden nun alle Theilnenner 

 Factoron haben, welche sich derselben Grenze v^lL' nähern. Diese 

 ist aber dir den vorliegenden Fall nichts anderes als der Endwerth, 

 welchen Nk.k^m für stets wachsende k annimmt; multiplicirt man also mit 

 demselben den Endwerth eines Theilnenners, wie er sich in 11) dar- 

 stellt, und berücksichtigt man dabei, dass bei dem angenommenen Gange 

 der b zuletzt (.d. h. für sehr grosse k) wird vi,+„+,,k+.m+, — VL,i<+m, so 

 wird das Product zuletzt =::: — Nk,k+m-i + Zk,i+m welches im Grenz- 



Sinm« Sin(m4-2)»? 

 werth gleich ist — k^ — -f- — g: oder = 2 cos (ra-j- 1)17. Nachdem 



also die Zähler des zusammengezogenen Bruches auf — 1 reducirt und 

 seine Nenner in die einfachste Form gebracht sind, werden die letzteren 

 zum Grcnzwerth haben 2cosfm-f-l)'7, während in dem ursprünglich vor- 

 gelegten Bruche '2 cos rj dieselbe Rolle spielte. So oft als 17 in irratio- 

 nalem Verhältnisse zu n steht, kann man die erste Grösse durch pas- 

 sende Annahme einer endlichen ganzen Zahl m, so nahe als es immer 

 gefordert werden mag, einer beliebigen , zwischen und 2 gegebenen 

 Quantität gleich machen. Wäre also erst ein einziger Kettenbruch auf- 

 gestellt, dessen Convergenz nachgewiesen wäre, während seine Theil- 

 nenner (in der reducirten Form) sich zuletzt einer Grenze 'i cos rj näher- 



len, wo — eine irrationale Zahl vorstellte, und hätte derselbe dabei die 



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Eigenschaft, den zuvor mit L und L' bezeichneten Grenzen continuirlicher 

 Pruducte endliche und von Null verschiedene Werlhe zu geben, so könnte 

 man aus ihm durch Contraction andere ableiten, welche, ihrem Ursprünge 

 nach, noihwendig ebenfalls convergiren müssten, während ihre b sich 

 einer Grenze nähern würden, welche einer beliebig vorgeschriebenen 



