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d. Die Lösungen der Konstruktionsaufgabe. 



Wir suchen die Punkte D, die Fusspunkte der Sch'enkel- 

 hölie. Diesel])en sind, wie wir schon gezeigt haben, die Schnitt- 

 punkte des Grundkreises mit der Kurve. Ein Kreis schneidet eine 

 Kurve dritter Ordnung in 6 Punkten. Da nun lieide Kvn-ven 

 durch den Nullpunkt und durch die iniaginären Kreispunkte 

 der El)ene gehen, so fallen von vorneherein 3 Schnittpunkte 

 ausser Betracht. Es bleilien also noch 3 Schnittpunkte zu be- 

 stimmen übrig. Als Gleichung der Kurve haben wir 



(x^ + y^) (x-b) - X (c-^-- ^) + })cy = («) 



und als Gleichung des Kreises 



x"^— bx-f y' = 0. (;V) 



Wir lösen Gleichung (,j) nach y auf und erhalten 

 y = \/hx — x\ 

 Diesen Wert setzen wir in {a) ein; es giebt 



b X (x — b) — X ( c- — ^ ) ^ — b c V^bx — x^. 



Quadriert, auf Null gebracht und den Faktor x wegdividiert 

 3 3b2 + 4c- , , 9b* + 40b'^c'^ + 16c* , , ,, 

 " 2F— -"■+ r(5P x-bc^ = (). 



Die Wurzeln dieser kubischen Gleichung sind die Abscissen 

 der Schnittpunkte D. Als Diskriminante der Gleichung erhalten 

 wir den Ausdruck: 



^ = TTTzr^TTTT^ (~ 27 b^H- 288b*' c^- 992 b*c* + 1024 b^c^^- 256c«). 

 108- 64 b* 



J = positiv; die Gleichung liesitzt eine reelle und zwei imaginäre 



Wurzeln. 



7^=0: alle drei W\n-zeln sind reell und zwei fallen zusammen. 



J = negativ ; drei reelle und unter sich verschiedene Wurzeln. 



Wir behandeln zuerst den mittlem Fall und untersuchen, 



für welche Werte von c die Diskriminante verschwindet. Wir 



setzen : 



4c^-— i: und \r = r^ und führen diese Werte im Aus- 

 druck für J ein. Bestimmen wir hierauf die Wurzeln der 

 Gleichung J =^0, so finden wir, dass sich tue Diskriminante 

 folgendermassen in Faktoren zerlegen lässt: 



