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für -^- Für c = -^ sind also 2 Nullpunktstangenten der Kurve 



reell und 2 imaginär. 



3. c = b. 



Gleichung (11) erhält die Form 



X* x'' X" X 



Die kubische Hilfsgleichung, die wir ableiten können, hat 

 eine reeUe und zwei imaginäre Wurzeln; folglich besitzt Glei- 

 chung {()) 2 reelle und 2 imaginäre Wurzeln. Die Nullpunkts- 

 tangenten sind wieder zur Hälfte reell und zur Hälfte imaginär. 



Überhaupt hat die Kurve, wie schon die Konstruktion er- 

 giebt, im Nullpunkt stets 2 reelle und 2 imaginäre Tangenten 

 mit Ausnahme des Falles, da c = ist. 



Um die Schnittpunkte mit der y-Axe zu erhalten, setzen 

 wir in der Kurvengleichung (9) x = ü und erhalten 



b^y* = 0; 

 somit schneidet die y-Axe die Kurve 4 mal im Nullpunkt und, da 

 die Koeffizienten von y*' und y^ = sind, noch 2 mal im Unend- 

 lichen. 



Setzen wir y = 0, so bekommen wir die Abschnitte auf der 

 x-Axe. Wir erhalten die Gleichung: 



[x'^b — 2x)]-^ - 4c^x* = 0. 



1. x* = (); x = 4mal; 



2. (b-2x)'^ = c2; x = -^±c. 



Die x-Axe schneidet die Kurve 6 mal im Endlichen, worunter 

 4 mal im Nullpunkt. 



Zur Bestimmung der Asymptotenrichtungen machen wir die 

 Kurvengleichung mit z homogen, setzen dann z = und erhalten 

 4xnx^ + }-P = 0; 



1. x = 2 mal; 



2. y ^ihix 2 mal. 



Die imaginären Kreispunkte der Ebene sind also Doppel- 

 punkte der Kurve. Ferner haben wir in 



x = -^ (13) 



2 zusammenfallende reelle Asymptoten. Um dies zu zeigen, 



