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2. Suchen wir den Hilfsatz, auf den die obige Lösung sich 

 stützt, auch zu beweisen, ohne die Tlieorie der invohitorisclien 

 Strahlbüschel heranzuziehen. Der folgende Beweis scheint mir 

 einfach genug, um im mathematischen Unterrichte unserer Gym- 

 nasien Verwendung zu finden. 



Sat:;: Diircli den Mittelpunkt O einer gegebenen 

 Ellipse tverde ein beliebiger Kreis gelegt. Ein variables 

 Paar konjugierter Durchmesser der Ellipse schneide diesen 

 Kreis loieder in a and ß, so geht die Gerade aß durch einen 

 festen Punkt ,1. 



Beiaeis (Fig. 2): Die halben Axen der gegebenen Ellipse 

 seien OA = a und OB = b: wir nehmen dieselben zu Koordi- 

 natenaxen, und es sei die Gleichung irgend eines durch den 

 Mittelpunkt der Ellipse gehenden Kreises 

 ^2 _j_ y2 ^=: ^; X -[- V y. 



Wir betrachten zunächst zwei ausgezeichnete T*aare konju- 

 gierter Durchmesser der Ellipse; 1) die beiden Axen und 2i die 

 beiden einander gleichen konjugierten Durchmesser. Die Axen 

 der Ellipse mögen den Kreis wieder in a und ß schneiden, so 

 hat man a = u, 0/i = v; die Kreisseime aß geht durch den 

 Mittelpunkt M des Kreises. 



Ergänzen wir nun AOB zum Rechteck AG BC, und AGB', 

 wo GB' = — b, zum Rechteck AGB'C, so liegen auf den Strahlen 

 OC und GG' die zwei einander gleichen konjugierten Durch- 

 messer der Ellipse; es mögen dieselben den Kreis wieder in y 

 und in (^ schneiden, so ist Bogen ad=a-j', und daher steht die 

 Kreissehne y () senkreclit zum Kreisdurchmesser a M ß. 



Der Strahl Oy hat die Gleichung y ==: - x, und die Gleichung- 



a 



des Kreises gibt für den Punkt y 



x(l-| 5-=i^iH Wir finden somit: 



V aV a 



a(au + bv) , b(au + bv) 



Jr unki r • • • X ^= „ I 1 o — • 



a''-f-b'^ 



und wenn wir b in — b umsetzen: 



T5 1 , V ,/ a(au — bv) 



Punkt ,l...x -^^qrp^. ,. - ^._|..|,, 



