— 229 — 



Der Schnittpunkt J von « ji und yd ist die Mitte von yd. 

 und wir erhalten somit für die Koordinaten von J 



Punkt J . . . X-- 2 - a^-fb^' y- 2 ^ a^-hb'^ " 



Bezeichnen wir mit c den Winkel AOC, so ist tüc = — > 



' a 



imd die Koordinaten von J nehmen die Form an 



Punkt J . . . X = u (cos (f)'^. y = v (sin (f)'^. 



Wir l)ehaupten nun. jede durch den Punkt J gehende 

 Gerade schneide den Kreis M in zwei solchen Punkten a' und/:?', 

 dass auf den Strahlen a un O ,i' zwei konjugierte Durchmesser 

 der gegebenen Ellipse liegen. 



In der Tat, betrachten wir zuerst eine beliebige Gerade 

 A X -j- B y = C, so haben wir für die Schnittpunkte dieser Ge- 

 raden mit dem Kreise M die Relationen 



H-4 = — (u4-v-l) und — =.A + B^. 



' X- X V X / X X 



Somit c(^l + -^) = (A-f-B^)(^^u + v^). d.h.: 



(B^— C) ^ + (--^^^ f B") — + (Au — C) = (). 



Wenn somit (x',y') und (x",y") die beiden Schnittpunkte 

 darstellen, so haben wir 



y y^_Au — C 



x' ■x""Bv — C' 



Nun soll die Gerade Ax-fBy = C durch den obigen 

 Punkt J gehen, so ist, C == Aucosc7'*"|-Bvsin^^, und der Ausdruck 



v' v" . , (Au — Bv)sinc^2 ,.2^1 • i u 



von "^ ■ '—TT wu-d -Vi 1 — i ^ = — tgc?^, d. h. wn- erhalten 



x' X (Bv— Au) cos 9-^ ^ 



v^ v;;_ _b^ 



Die Strahlen a und ß' haben also die Richtungen von 

 zwei konjugierten Durchmessern der gegebenen Ellipse, w. z. z. 



3. Als weitere Beispiele des Satzes, dass wenn durch 



1 deti Scheitel eines involutorisclien Strahlsystems irgend ein 



Kegelschnitt gelegt wird, die Sehnen, welche die zweiten 



