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Die Gerade, welche durch den Berührungspunkt 
senkrecht auf die Tangente gezogen wird, heisst Nor- 
male. Diese halbırt also den Winkel FPG, den die 
zwei Strahlen aus den Brennpunkten mit einander bil- 
den. Wir wollen den halben Winkel derselben fortan 
mit $ bezeichnen. 
Es seien F, G, OÖ (Fig. 5) die Brennpunkte und das 
Centrum, P irgend ein Punkt der Ellipse, OM die Rich- 
tung der kleinen Axe, PNM die Normale in P; PN=n, 
PM=m, FP=r, GP=R. Durch die drei Punkte 
P,F,G kann ein Kreis gelegt werden. Da die kleine 
Axe mitten auf der Sehne FG senkrecht steht, so halbirt 
sie den zu dieser Sehne gehörenden Kreisbogen, und die 
Gerade, welche P mit der Mitte dieses Bogens verbindet, 
muss dann auch den Peripheriewinkel FPG halbiren, 
kann also keine andere als die Normale sein. Folglich 
ist M die Mitte des Kreisbogens. Hiedurch ist bewiesen, 
dass die vier Punkte F, G, P, M auf einem und demsel- 
ben Kreise liegen. Daher ist AMFG=ZLMPG=3, 
weil beide Peripheriewinkel auf demselben Bogen (der 
zur Sehne MG gehört) stehen. 
Man fälle aus M resp. MH und MK senkrecht auf 
PF und auf PG; die rechtwinkligen Dreiecke MHP und 
MKP sind dann congruent, weil sie die Winkel bei P 
gleich und die Hypotenuse m gemein haben. Also ist 
MH=MK,PH= PK. Nun sind aber auch die Dreiecke 
FOM, GOM congruent, weil sie die Kathete OM gemein 
und die Katheten OF, OG gleich haben; daher FU =GM. 
Die zwei Dreiecke FHM und GKM haben also bei H, 
K rechte Winkel, die Hypotenusen FM, GM gleich und 
die Katheten MH, MK auch gleich, sind daher congruent; 
folglich ist auch FH=KG, daher 
PF+PG=PF+FH+PG—- KG=PH+PK=2FPH, 
