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tischer Paraboloid. Haben e und Foc einen reellen Kegel- 

 schnitt gemein; so wird die e zugehörige Fläche ein 

 Hyperboloid und zwar ein hyperbolisches oder elliptisches, 

 je nachdem die Schnittpunkte von e und K reell oder 

 imaginäj- sind*). Derselbe Grundsatz, welcher hier die 

 Unterscheidung der Flächen zweiten Grades gab, liefert 

 auch die Construction des hyperbolischen Hyperboloids 

 aus 3 Geraden die derselben Schaar angehören, ebenso 

 die Construction des hyperbolischen Paraboloids. Man 

 kann nämlich leicht P und F so wählen, dass irgend drei 

 Gerade im Raum transformirt werden zu i^ Geraden in 

 einer Ebene, die durch denselben Punkt gehen. 



8) Der Ort der conjugirten Punkte für säraratliche 

 Punkte einer Fläche zweiten Grades f ist eine Fläche 

 vierten Grades ^, die den Kegelschnitt K zur Doppel- 

 punktscurve hat; da jede durch P gehende Ebene mit 

 der Ortsfläche eine Curv^e gemein hat, welche P zum 

 Doppelpunkt hat, so ist P ebenfalls ein Doppelpunkt der 

 Fläche. Legt man von P aus sämmtliche Tangential- 

 ebenen an f (die einen Kegel zweiter Klasse oder zweiten 

 Grades bilden) so werden dieselben auch Tangential- 

 ebenen an q) sein, und aus dieser, entsprechend zweien 

 Geraden auf f , zwei Kegelschnitte ausschneiden. Diese 

 haben 4 gemeinschaftliche Punkte, von denen der eine 

 P festbleibt, 2 andere bewegen sich auf K und der Ort 

 des vierten ist eine Raumcurve vierten Grades. Von 

 besonderer Wichtigkeit sind die vier Punkte Sj, S2, Sg, 84 

 in denen f und K sich schneiden, denn man erkennt so- 

 fort, dass die Geraden Ps^ . . . PS4 auf cp liegen; eine 

 Ebene welche durch 2 derselben geht, wird also noch 



*3 Die Bezeichnung; hyperbolisches und elliptisches Hyperboloid ist 

 die ältere, in neuerer Zeit verlassen. Das erste heisst jetzt Hyperboloid 

 mit einer IVIantelfläche, das zweite Hyperboloid mit zivei Mantelflächen. 



