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Von verschiedenen Mathematikern sind daher Untersu- 

 chungen angestellt worden, um die Zahl und Lage derselben zu 

 ermitteln, ohne dass es bis dahin gelungen ist, einen einfachen 

 Weg zur genauen Berechnung zu finden. • 



Wir haben uns die Aufgabe gestellt, die bis dahin bekannten 

 Resultate und eingeschlagenen Methoden kurz zusammenzustellen und 

 in einem zweiten Abschnitt eine derselben weiterzuführen. 



I. Historischer Überblick. 



a 



Bereits Poisson^) hat gezeigt, dass die Gleichung J(x)=:0 

 für reelle a nur reelle Wurzeln besitzen kann. Er stellt das 



Integral auf: 



■1 



tJ(«t).J(/?t)dt=::0, 



/' 



worin a und ß zwei beliebige aber verschiedene Wurzeln von 

 J(x) = bedeuten. W^äre a komplex, so könnten w^ir als ß die 

 konjugiert komplexe Wurzel wählen, es müssten dann auch 



a a 



J(at) und J(/^t) konjugiert sein; ihr Produkt wäre positiv längs 

 des ganzen Weges, somit könnte das Integral nicht den Wert 

 Null annehmen. 



Kurze Zeit später hat Sturm^) eine allgemeine Methode 

 entwickelt, welche, angewendet auf die Besselschen Funktionen, 

 sehr weitgehende Schlüsse auf die Lage ihrer Nullstellen zulässt. 

 Da wir jedoch dieselbe im zweiten Teil unserer Arbeit einläss- 

 lieh behandeln, so sei sie hier nur erwähnt. Dagegen müssen 

 wir uns etwas länger bei der interessanten Untersuchung von 

 Hurwitz ^) aufhalten. Er beschäftigt sich nicht direkt mit den 

 Besselschen Funktionen, wie wir sie eingangs definiert haben, 

 sondern geht aus von einer verwandten aber einfachem Reihe. 

 Er setzt 



') Sur la distribut. d. 1. chaleur d. 1. corps solides. Paris 1821. 

 2) Liouville Journal. Vol. 1. 1831. 

 2) Math. Aiinalen. Bd. 33. 1889. 



