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^^^^^""r(a + l) + r(a + 2).l!"^ ^ r(a + r+l).r! +* 



und es gilt cknn: 



Daraus ergeben sich mit Leichtigkeit die Nullstellen von J(x), 

 wenn diejenigen von fa(z) bekannt sind. Hurwitz sucht die Auf- 

 gabe weiterhin zu vereinfachen, indem er die transzendente 

 Funktion fa(z) durch eine rationale zu ersetzen sucht, deren 

 Xullstellen in einem bestimmten Grenzfall mit denjenigen der 

 transzendenten zusammenfallen. Zu diesem Zwecke beweist er 

 folgenden Satz: Es sei f(z) die gleichmässige Grenze der Funktions- 

 reihe 



go(z), gi(z), g2(zX ,g,-(zX 



SO dass gilt ,,il^^ gj,(z) ^f(z), so liegen in einem Gebiet, in welchem 



f{z) endlich und stetig, und die Funktionen gv(z) alle den Charakter 

 einer rationalen Funktion besitzen, die Nullstellen von f{z) in den 

 Verdichtungsstellen der Wurzeln der Gleichungen 



g„(z) = 0, g,(z) = 0, g.3(z) = 0, ....g,,(z) = 

 und zicar liegen in einer beliebig kleinen Umgebung der Stelle tu, die 

 eine v-fache Wurzel von f(z) = ist, genau v Nullstellen von gv{z), 

 so bald V eine bestimmte, von der Grösse jener Umgebung abhängende 

 Zahl überschreitet. 



Als solche Hilfsfunktion g,,(z) wählt Hurwitz Zähler und 



fafz) 



Nenner der Kettenbruchentwicklung des Quotienten „ ^ , -— , 



welche Funktionen von Heine^). Christoffel^) und Lommel^) bear- 

 beitet worden sind. 



g^(z) ist definiert durch die Reihe 



»»-2 (';■■) ^^'' 



r=0 vi; 



und hängt in folgender Weise mit f(z) zusammen: 



0-« — izilZl^jf .f _zf f 1. 



') Heine, Handbuch der Kugelfunkt. Bd. 1. 

 2) Grelle Journal Bd. 58. 

 8) Math. Annalen Bd. 4. 



