— 95 — 



Setzt man für f , „ und f die Reihenentwicklunsren ein, 



gl 



SO lässt sich leicht zeigen, dass ^^^^ r( ^-U \ ^^ "^a-r M.sin 



findet daher die Wurzeln der Gleichung fa(z) = mit beliebiger 

 Genauigkeit, indem man diejenigen von g^'^^ (z) = bestimmt. 

 Mit wachsendem v wird die Übereinstimmung immer besser. 

 Diese Hilfsfunktion g^^ (z) ist nebenbei bemerkt nahe verwandt 

 mit der von Graf und Gubler ^) eingeführten Schläflisclien Funktion. 

 deren Definition ganz ähnlich lautet. 



Sie ist definiert als Zähler und Nenner der Kettenbruch- 



a 



entwicklung von ^_[ . Es ist 

 J(x) 



J(x) ^ lin, P,-(x) 



a— 1 ,'= CXD a— 1 



J(x) P„+,(x) 



a 



wobei Pr(x) die v^^ Schläflische Funktion mit dem Parameter a 



a 



bezeichnet. J(x) bildet ihre gleichmässige Grenze. Ferner ist 



p..«^(|)-2<-)'(7':)^¥±St^(C 



r = o 

 Mit der Summenformel von gj.(z) verglichen, ergibt sich 



a 



somit fallen die Nullstellen von Pr(x) mit denjenigen von 



zusammen, und es s:ilt der Satz: 



Die Nulhtellen der Besselsclien Funktion J(x) liegen in den 

 Verdichtungsstellen derjenigen der Schläflisclien Funktion. 



Anmerkung. Es ist uns gelungen, eine Differentialgleichung der 

 Schläflisclien Funktion aufzustellen. Sie lautet: 



x2 d^v , X dSy , .,, d2v , / p , o ^ dy , qy .. 



4 dx* ' 2 dx^ 



wobei p = ni (^y-f a + lj -I- (^a + ^ j 



q = m (m + 2) {4a (a + m -\-l) -{- m (m -j-2) }. 

 ') Theorie der Besselschen Funkt. II. Art. S. 99. Bern. 



