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Die weitern Schlüsse von Hurwitz basieren auf einem be- 

 kannten Sturmschen Satz über den Zeichenwechsel innerhalb 

 einer Funktionsreihe bei Variationen des Arguments. Der Voll- 

 ständigkeit halber wollen wir diesen kurz vorführen. 



Es sei folgende Funktionsreihe gegeben: 



V„., Vn.-i, Va+i, V., Yu-i Vi, Vo. 



Vi sei eine ganze rationale Funktion der komplexen Variablen z 

 vom Grade i. Der Koeffizient von z' sei positiv. Ferner erfülle 

 Vi die Bedingungen: 



1. Wenn i ^ t/, so besitzen, wenn Vi verschwindet, die 

 Funktionen Vi^-i und Vi_i von Null verschiedene Werte 

 von ungleichem Vorzeichen, dagegen wenn i=u. so 

 sollen sie gleiche Vorzeichen haben. 



TT 



2. Geht z von — ^o bis -|- ^^, so geht ^^ überall, wo 



Vin— 1 



der Quotient =:= wird, von negativen zu positiven 

 Werten über; oder mit andern Worten: Zwischen 2 auf- 

 einanderfolgenden Nullstellen von Vm muss stets eine 

 ungerade Zahl von Nullstellen von V,u-i liegen. 



3. Die Gleichung Vm = hat keine mehrfachen reellen 

 Wurzeln. 



Unter diesen Voraussetzungen hat die Reihe Yf.i , Yu -i • • 

 • • Vi , Vo für z = — oo /,i Zeichenwechsel , während sie f ür 

 z = -\~ o<D f.1 Zeichenfolgen aufweist. Geht daher z von — co bis 

 -f CO, so gehen u Zeichenwechsel verloren. Es ist klar, dass 

 ein solcher Verlust nur stattfinden kann, wenn eine der Funk- 

 tionen V durch hindurch geht, und durch die Voraussetzung 1) 

 beschränkt sich dieser Verlust auf diejenigen Nullstellen von 



Yfj, 

 Vu , wo -^ von negativen zu positiven Werten übergeht. Es 



muss deshalb Vu wenigstens fi reelle Wurzeln haben. Da diese 

 Funktion aber vom Grade u ist, so folgt der Satz: Die Gleichung 



IT 



Vjj. = hat nur reelle Wurzeln, und es geht der Quotient -^- — 



y u—i 



jedesmal^ wenn er verschwindet, von negativen zu positiven Werten über. 

 Auf gleiche Weise ziehen wir Schlüsse aus der Reihe 



V,n, Vm_], • • • Vufi, Vw, Va_i, • • • Vi, Vq; durchläuft z alle Werte 



