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von — ^c bis -|- oo, so gehen m Zeichenwechsel verloren. Ein 

 solcher Verlust kann hier eintreten erstens, wenn V,u = 0, und 

 zweitens, wenn Vu = 0. Im letztern Falle gehen immer gleich- 

 zeitig zwei Zeichenwechsel verloren. Da Vu ^0 jll reelle Wurzeln 

 besitzt, so ist die Zahl dieser Verluste 2 i.i. Es bleiben deshalb 

 noch m — 2// Verluste an Zeichenwechseln, die vom Verschwinden 

 der Funktion Vm herrühren. Es muss diese somit m — 2 u reelle 

 und 2 (.1 imaginäre Nullstellen besitzen. 



Die Bedingungen, denen die Funktionen V unterworfen 

 sind, werden durch die g-Funktionen erfüllt, wie aus der Summen- 



fonnelM g,,,,^^ (2'-r) n^tiL-=li / 



^-''' ämJ\ V J r(a + r) 

 r=0 



und der daraus abgeleiteten Beziehung 



(a + 2i'-l)g,,^2=.-=C,,g,„-(a + 2r + l)z-^g,„_,^ 



wobei C,;=(a + r){(a + ^ — l)(a + J' + l) + 2z}, 

 leicht ersichtlich ist. Wenn g^^^^O, so müssen g.^^^.o und ^2v-2 

 ungleiche Vorzeichen besitzen, so lange sowohl (a + 2r — 1) als 

 (a-(-2r-f-l) positiv ist. Da v von 1 an zählt, so ist dies sicher 

 der Fall, sobald a> — 1. Es kann deshalb in der Reihe g.,^,^ 

 g>,._2 * • • • ^>5 &3 ^ui* ^ii^ Zeichenwe(^hsel verloren gehen, wenn 

 g2j,=^0 wird. Da im ganzen v solcher Verluste erfolgen und 

 dies zugleich die Zahl der Nullstellen von gg,, ist, so gilt folgen- 



a 



der Satz: ht ^/ > — i, so besitzen die Gleichuncjen g^^{z)^=0 für 



a 



jedes r mir reelle Wurzeln, und es geht der Quotient - - jedes- 



mal, wenn z eine Nullstelle von g^^i') passiert, ron negativen zu posi- 

 tiven Werten über. 



Die Zahl der positiven Wurzeln erhalten wir, indem wir z 

 von bis -}- cx> wachsen lassen und die Zahl der eintretenden 

 Verluste an Zeichenwechseln bestimmen. Für z=^0 ist aber: 



g(3 = l, g2=::a(a + l), g^ = (a-}-2)(a + 3)g2 

 allgemein : g,^^^, == (a + 2 v) (a + 2 v +1) g.,^, 



') Der Einfachheit halber betrachten wir nur die geraden g-Funk- 

 tionen. 



Bern. Mitteil. 1904. Nr. 1577. 



