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Für positive a sind alle diese Ausdrücke positiv, es tritt 

 somit kein Zeichenwechsel ein, wenn z von bis -|- oo wächst 



a 



und deshalb haben die Gleichungen g.^^,(z) = ^ keine positiven 



Wurzeln. Liegt dagegen a zwischen und — 1, so ist | g2 (z) j^^, 

 negativ, und es geht mit wachsendem z ein Zeichenwechsel ver- 

 loren. Wir erhalten somit den Satz: 



a 



Die Gleichung (j^(z) = hat eine positive und v — 1 negative 

 Wurzeln, icenn a zwischen — 1 und liegt, dagegen sind alle 

 Wurzeln negativ, wenn a^O. Ist aber a <; — 1, liegt es z.B. 

 zwischen — (2 u — 1) und — (2 ,a -j- 1), wo u eine ganze positive 

 Zahl bedeutet, so folgt aus 



(a + 2 r — 1) g,,,_^, = c,,, g,,, — (a +2 r -f- 1) z^ g,^^, ^ 

 dass in der Funktionsreihe 



&2r' &2 j'-|-2' * ' ' ö2u-|-2' Ö2,u' Ö2W— 2' * ' * &0 



immer, wenn eine der Funktionen verschwendet, die benachbarten 

 gleiches Vorzeichen besitzen, ausgenommen dann, wenn g.^^i zu 

 Null wird. 



Ferner lässt sich zeigen, dass für grosse )' der Differential- 



quotient von — ^^^^ einen positiven, von Null verschiedenen Wert 



§2i'— 2 



besitzt und somit erfüllt die Funktionsreihe 



2" 



für grosse r alle Bedingungen, die wir für die Reihe 



V Y V V 



aufgestellt haben, und so können wir den für die Funktion V^^ 



a 



ausgesprochenen Satz auf unsere Funktion g^,, anwenden. 



Wir untersuchen wieder die Zahl der positiven Wurzeln. 



a 



Für z = ist gg , 2 = (a + 2)') (a + 2j'-(-l). Liegt a zwischen 



a 



— (2,w — 1) und — (2,1/), so hat g2,,_L2 ^^^i' jedes r das positive 

 Zeichen, w^ährend, wenn a zwischen — {2jii-\-l) und — 2ii ge- 



a 



legen ist, goa_f_2(^) ^^^ einzige Glied ist, das für z = negativ 

 wird. Wir erhalten also im letztern Falle einen einzigen Verlust 

 an Zeichenwechseln, wenn z von bis --f- co wächst. Dies er- 



