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Oval, das zur Gleichung g2r~l~^'^2r+i ^^^ gehört, von Innen be- 

 i-ührt durch ein Oval, aul' dem die komplexen Wurzeln der 

 Gleichung go,,,^!) +>'-g2()-f-i)+i ~ ^ liegen. Der Berührungspunkt 

 liegt da, wo g.,,, , ^(z) --=0. Ferner müssen sich die Ovale mit 

 wachsendem v verkleinern, und jedes schrumpft für r = oo in 

 einen Punkt zusammen, der nach früherem eine Nullstelle von 

 f(z) sein muss. 



Da aber J(x) = (^^jf^( 1 



SO erhält man die Nullstellen von J (x), indem wir setzen 



x2 



und nach x auflösen. 



Wir bekommen dann aus einem konjugierten Wurzelpaar 



a 



von f^(z) = deren zwei für die Gleichung J(x) = 0. Die Resul- 

 tate von Hurwitz auf die Besselschen Funktionen übertragen, 

 lauten somit: 



a 



Die Gleichung J (x) = hat für negative, zwischen — (2 i-i -\- 2) 

 und — 2 f.1 liegende Werte von a genau 2 (.t- Paare konjugiert kom~ 

 jile.Ter und übrigens unendlich viele reelle Wurzeln. Zur nähern Be- 

 stimmung der komplexen Wurzeln hat man eine unendliche Reihe al- 

 gebraischer Kurven 



von denen jede einzelne aus 4 f.L im Endlichen und aussereinander- 

 liegenden Oralen besteht. Das einzelne Oval der Kurve i/',, = berührt 

 und umschliesst je ein Oval der nächstfolgenden Kurve t// . ^ = und 

 enthält zugleich in seinem Innern je eine imaginäre Nullstelle von 



a 



/(.r). Auf diese Nullstelle zieht sich das Oval mit wachsendem v 

 immer mehr zusammen. Dazu kommen noch zwei auf der lateralen 

 Are liegende Wurzeln für den Fall, dass a zwischen — {2 a -[- 1) 

 und — {2 f.1 -\-2) liegt. 



Durch Anwendung von Integralsätzen bestimmt Hurwitz 

 die Lage der komplexen Wurzeln von f^(z) = noch genauer; das 

 Resultat spricht er aus in dem Satz: Die komplexen Wurzeln der 

 Gleichung — f^_^{z) = liegen in denjenigen Gebieten der Ebene, in 

 denen die Funktion 



