— 109 — 



Zum Schlüsse wollen wir noch einige Betrachtungen von 



n 



Scliaflmtlin über die Funktion K (x) und ihre Nullstellen anführen. 



n 



Es lässt sich K(x) darstellen durch ^): 



p=' fl) 



^ p(n + p) 



wobei ili die bekannte Gausssche Transzendente bedeutet. Wegen 



n 



dem auftretenden Logarithmus ist K (x) keine eindeutige Funktion 

 mehr, sondern besitzt unendlich viele Werte, wie der Logarithmus. 

 Schafheitlin bezeichnet denjenigen als Hauptwert, wofür das Argu- 



TT TC 



ment von x zwischen ^ und -f- -^ liegt, entsprechend der 



Bezeichnung beim Logarithmus. Die andern Werte unterscheiden 



n 



sich dann vom Hauptwert durch die additive Grösse — 2miJ(o, 9),. 

 wenn x = ^ e' , wie aus der Summenformel ohne weiteres er- 

 sichtlich ist. 



Es lässt sich zeigen, dass diese Hauptuerte für keine komple.ren 

 Grössen zu Null werden, sobald n = 0. oder n= 1 ist. 



Der Beweis stützt sich auf die bekannte Formel von 

 Lommel '^) 



n X I ^ ""^"^ ° "+^ 1 



xy(rx)y(sx)dx = ^;2^2|i'y(sx)y(rx)-sy(rx)y(sx) . 



wobei y ein partikuläres Integral der Besselschen Differential- 

 gleichung, und r und s zwei verschiedene Parameter bedeuten. 

 Wir treten jedoch nicht näher darauf ein, sondern verweisen auf 

 die Arbeit von Schafheitlin.^) 



/' 



Wir stehen damit am Schlüsse unseres ersten Abschnittes. 

 Wir haben in demselben alle uns bekannt gewordenen Publi- 

 kationen über die Zahl und Lage der Nullstellen der Besselschen 



1) Programm des Sophien-Realgymnasiums. Berlin 1895. 



2) Zur Theorie der Besselschen Funktion V, Math. Annalen 14. 

 ■') Archiv der Mathematik und Physik. III. Reihe I. 



