— 110 — 



Funktionen einer kurzen Besprechung unterworfen und vor allem 

 immer die bis dahin bekannten Resultate hervorgehoben. Im 

 folgenden wollen wir zeigen, wie man durch die konsequente 

 Anwendung einer von Sturm gegebenen Methode auf die Bessel- 

 sche Differentialgleichung in leichter und eleganter Weise die 

 gleichen Resultate ebenfalls erhält, ja dass es damit gelingt, die 



a a 



Nullstellen der Funktionen J(x) und K(x) in noch engere Grenzen 

 einzuschliessen. 



II. Die Methode von Sturm. ^) 



Es sei die Differentialgleichung gegeben: 



d^V dV 



dx^ dx ' 



M, L und N sind Funktionen von x und allfälligen Parametern. 

 Sie lässt sich in die Form bringen 



dlK^^^ 



^^^L-f_GV = (1) 



dx 



. ^ dn^ , dK dV , ^^. ^ 



oder K -5—^ + -5— -5 f G \ = 0. (1 a) 



dx- ' dx dx ' ^ 



Es wird K = e "^ ; G==^K. 



Aus (la) sieht man, dass V und -.; — nicht srleichzeitis: ver- 



dx 



schwinden dürfen in einem Punkt, in dem K nicht zu Null wird. 



d-V 



Denn alsdann müsste auch -r-^ = sein, und ebenso alle folgen- 

 den Ableitungen der Funktion V, wie man durch fortgesetztes 

 Differenzieren sieht. V müsste eine Konstante sein, was der 

 Voraussetzung widerspricht. Daraus schliessen wir: 



Die Funktion V hat keine reellen Doppelwurzeln ; sie geht 

 jedesmal, wenn sie den Wert passiert, von positiven zu nega- 

 tiven Werten über, wenn -^-^ negativ ist, und umgekehrt im 

 andern Fall. 



') Liouville Journal. VoL 1831. 



