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3. Es sei N eine sehr grosse jiositire Zahl. Dann ist die 

 Di/ferenz zwischen dei' Zahl der Nullstellen von 



a a+2 m 



J (x) und J (x), 

 die in dem Intervall bis X liegen, genau gleich der Zahl der Null- 



V 



-Stellen von J {N^, wenn p von a bis a~\-2m wächst. 

 jS^acli Poisson gilt für grosse x 



Wenn p von a bis a-f-Sm geht, so passiert dieser Aus- 

 < druck den Wert Null m-mal. Deshalb können wir sagen: 



Die Funktion J(.t) hat in dem Intervall bis X wo N eine 

 sehr grosse positive Zahl bedeutet, genau m-Nitllstellen weniger als die 



a 



Funktion J (.r) oder niit andern Worten: 



Es gibt auf der positiven X-Axe m-Intervalle, die von je zwei 



a 



■au feinander folgendeti Nulls telien der Funktion J{oi) gebildet werden, 

 innerhalb welchen keine Nullstelle der Funktion J (x) liegt; in allen 

 übrigen Intervallen liegt jedoch je eine Nullstelle dieser Funktion. 





I 



Nun ist J (x) = \ / — ^— • sin x. 



TTX 



Die Nullstellen von J(x) fallen mit den Vielfachen von it 

 .zusammen. 



W^ir ktnmen also obigen Sati^ etwas bestimmter fassen 

 und sagen: 



Teilt man die positive Axe in e>o viele Abschnitte von der Grösse tt, 

 so gibt es unter diesen im ganzen m-l ntervalle. in denen keine Null- 



-Stelle von J (.ij gelegen ist. wenn n zuischen 2 m und 2m-\-2 liegt. 



. i 



In allen übrigen fnterrailen befindet sich je eine Nullstelle von J{x). 



Als Spezialfall erhalten wir den von Bocher auf elementarem 

 Wege bewiesenen Satz: Ist <] // <] V, so liegt zwischen zwei auf- 



a 



■einand erfolgenden Nullstellen von J (x) je eine und nur eine Nullstelle 

 'Von J (x). 



