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3. 



Dann müssen nach früherem die Wurzeln der Gleichung 



y = o 



mit wachsendem m abnehmen. 



Wählen wir ein m, das zwischen m' und m'^ gelegen ist. 

 so muss jede zwischen x^ und x,, liegende Wurzel von 



sicher kleiner sein als die entsprechende von 



.y' = o, 



aber zugleich grösser als diejenige von 



y''=o. 



Die drei letzten Bedingungen, welchen die Funktion H(x, m) 

 unterworfen ist, lassen sich aber leicht für jede beliebige Funktion 

 H(x) erfüllen, sobald in einem bestimmten Intervall der reellen 

 Axe die Beziehung gilt: 



H"(x)>H(x)>H'(x). 



Man kann immer auf beliebig viele Arten in die Funktion 

 H(x) einen Parameter m so unterbringen, dass die gestellten 

 Bedingungen erfüllt sind. Deshalb können wir das Sturmsche 

 Theorem in folgenden Satz fassen: 



Sind die drei Differentialgleichungen gegeben: 

 dS' 

 dx- ' 



d^y" 



dx'^ 



H'W" = 



+ Hy = 



giltig zwischen 



Xj und x^j 



die den Bedingungen genügen, dass 



1. H'>H>H' 



3. alle drei Funktionen y" , tj und y' an der untern Grenze das 

 gleiche Vorzeichen besitzen, 



