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log cotg -^ = cos X -f- 



1 (/3 



cosx -f- cos3x \-j~ 



' 3 . 2M \ 1 



+ 5^2^1(2)^'^^''"'" (^ Jcos3x + cos5x + 



+ yr2^ I ( 3) ^""^ "^ "^ ( 2 ) ^^^ ^ ^"^ +■ ( 1 ) ^'''^ ^^ + cos 7 x H- 



+ • • • : • • ' 



(]. h. wenn wir schreiben 



log cotg -^ = A cos X -|- A cos 3 x -(- A cos 5 x -|- • • • • , (2) 

 so erhalten wir 



^^l(CI,._(D , ID , jQ , ... I 



1 2^^ 1 1 . 2^ ' 3 . 2"' 5 • 2^ 7 • 2*'' 



^^l|Q_^__(D+_Q , Q^,....| 



3 2- 1 3 . 2" 5-22 7 • 2^ 9 . 2'' I 



2-^ 5-2'^ 7 -2^ 9- 2-^ 11.2^ 

 oder allgemein 



11=00 /2k-(-2n-fl\ 



2-A =2-^-^J^. (3) 



;"'+• ."t^, (2k+2nf 1).2-'" ^ 



was wir auch schreiben können 



n-^ /2k + 2n 



k + 2n\ 

 n-1 ) 



t Untersuchen wir die für A^^^ , ^ erhaltene Reihe (3) oder (3') 



^ auf ihre Konvergenz. Der Quotient irgend eines Ghedes durch das 

 vorhergehende ist 



u„+i ^ (2k + 2n)(2k + 2n- l) _ 

 u„ 4n(2k-fn + l) ~ ~" 



^ n^ + (2 k-V2).n + k(k-V2) 

 n^ + (2k + l)n 

 Nun zeigt Gauss in seiner Abhandlung über die Hyper- 

 geometrische Reihe: Wenn bei irgend einer Reihe mit posi- 

 tiven Gliedern der Quotient der Form ist 



Bern. Mitteil. 1904. Nr. 1583. 



