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IW, _ n''+C,n'-' + C.n'-- + - 



so ist die Reihe dann und nur dann konvergent, wenn D^— C,>1. 

 Bei der Reihe für A,^^^ ist nun D,— C\=^(2k + 1) — (2k- \ 2) 

 := 72. Somit ist die für A,,^^^ erhaltene Reihe (3) oder (B') 

 konvergent. 



2. Um nun den Koeffizienten A.^j, , ^ in geschlossener Form 

 darzustellen, differenzieren wir die Entwicklung (2), so kommt 



—. = A, sin X + 3 A., sin 3 x -1- 5 A. sin 5 x -)-••• • (4) 



smx L . o 



Jetzt bieten sich uns verschiedene Wege dar, den Koeffi- 

 zienten A2i._,_i zu bestimmen. 



Wir können (4) beiderseits mit 2 sin (2 h -j- 1) x • dx multipli- 



zieren, und von x = bis ^ = ^ integrieren. 



Nun ist, wenn k und k' irgend zwei ganze Zahlen, inklu- 

 sive 0, darstellen 



/ 



TIA 



2 sin (2k' + 1) X . sin (2k fl) x • dx == 



= n cos 2 (k— k') X — cos 2 {k^ k' + l)x 1 dx 



f = 0, w^enn k' ^ k 



I = ^/2, » k'-rk. 



Somit kommt aus (4) v 



''*'''2sin(2k+l)X , ^^ /Ol I ix A r ^ 



^ — ' dx = -^.(2k + l)A, (a) 



smx 2 '^^^ 



Um das Integral linker Hand zu werten, schreiben wir 



/ 



r''-sin(2k+l)x , 



J. = / W— ^ — — . dx. 



^ J sm X 



r^^"2 sinx • cos2k X , 

 J — J .= -. d 



^ ^-^ J smx 





 so kommt 



I 



