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'TT/s 



= / 2cos2kxdx^0. 



■f 





 TT 



Somit J^ = J^, = -^, d. h. wir finden 



/ 



nl^ 



^sin(2k-f-l)x , 2c 



sni X 2 



2 



dx=^^ (ß) 



Oder aber, um di) zu gewinnen, haben wir 



sin(2k + l)x _ e^-^''+"" - 6-'-"+"'" _ 

 sinx e^* — e~^^ 



e-"^' _,_p(2k-2,xi _(_g, 



(2k'~2k)xi 



I — 2kxi I -(2k-2)xi , — (2k— 4)xi i ^ 



-|- e + e + e ' 



= 1 ^-2cos2x-|-2cos4x 4-2cos6x. • +2cos2kx. 



^ ., /'-" Sin(2k + l )x . ,c 



bomit / -. dx=^r- wie oben. 



J smx 2 







3. Den Wert von Ao^^^ können wir aber auch auf ganz 

 elementarem Wege aus der Entwicklung (4) gewinnen. Wir 

 multiplizieren hiezu (4) mit 2 sinx, so kommt 

 k=c>o 

 2 =. 2 (2k + l) A,,^, . { cos2kx - cos(2k ^-2) x j. 



k-0 

 d.h.: 



2 = A^ + (3A3-A^)cos2x + (5A,-3A3)cos4x + 



+ (7 A. — 5 A5) cos 6x + (9 A^ -^ 7 A.) cosSx -J 



Dieses wird zur Identität, wenn 



A, = 2 



5A-=3A, 

 7A. = 5A- 



