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Hieraus durch Multiplikation (2 k -f- 1) A,^.^^ =^2, also 



2 



4. Führen wir den für A.^ gewonnenen Wert in (2) ein, 

 so finden wir schliesslich 



— log cotg y = ((>) 



= cos X -|- ^ cos 3 X + ^ cos 5 X -[- ^ cos 7 x -| • in inf. 



Diese Reihe ist konvergent. Denn fassen wir rechter Hand 

 die Gruppen aufeinanderfolgender gleichzeichiger Terme je zu 

 einem einzigen Terme zusammen, so haben wir eine Reihe mit 

 abwechselnden Vorzeichen, und die absoluten Werte der be- 

 treffenden Terme werden schliesslich unendlich klein. 



Vergleichen wir (6) mit (1) 



log cotg y= (1) 



--= cos X -I- -^ (cos x)^' + y (cos x)'' + y (cos x)^ -I , 



so ist interessant, dass in der Entwicklung von log cotg ^ nach 

 ungeraden Potenzen von cos x und in der Entwicklung von 

 — log cotg ^ nach Cosinussen der ungeraden Vielfachen von x 

 je die nämlichen Koeffizienten auftreten. 



TT 



Setzen wir in (6) und in (1) x in -^ x um, so erhalten wir 



logtg(f + 1-) = 



= sin X + ~5- (sin x)-^ + ~y- (sin x)'* + -^ (sin x)' H 



und 



ilogtg(^ + 4) = 



1 ^ 1 1 . ^^''^ 



= sin X =- sin 3 X -|- -^ sin o x ^ sin 7 x |- . • • 



3 o V 



