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6. Die obigen Resultate können wir auch, wie folgt, gewinnen 

 und verallgemeinern. In der Reihe 



setzen wir z = «e'^, wo a absolut <C1, so erhalten wir 



|1^ r».l^ -, It^Ii l+^^e ^ I 

 a cos X -(- -^ «^ cos 3 X -f- -^ « cos o x -| — . = — R ^ log — — \ 



.l.-o ,1..^ , ItIi l+^e^"" I 

 « sin X + -^ «^ sin d x -[- ^^ « sm o X -J . = — J { log — ' r^ , 



wo R die reelle und J die imaginäre Komponente des rechts 

 neben R oder J stehenden Ausdrucks bezeichnet. 



Multiplizieren wir in — ' ^— Zähler und Nenner mit 



1-ae^" 



1 — «e~'^, so kommt 



l+«e''' l-f-2i«sinx — «^ 



1 — ae^"^ ^ — 2«cosx-]-ö^ 

 und wir erhalten daher 



CO 



2k-f-l 



'V «^'^"^^cos(2k-f-l)x 

 = -2-Rlog(l-f-2i«sinx — «2^— — log(l — 2«cosx-|-«2), 



CO 



^ «-^+^sin(2 k+l)x 1 Ti ,-, , o- • 2^ /^ 



^ 2HT^ 2i^ ^^^ ^^ "'''^'' ^" ^""^ 



Aber log (u -f- i v) ==r — log (u^ + v^) + i ^^'^ tg — , woraus 



Z u 



log (1 + 2iösinx -a') = ~ log { (1 — a^ + 4 «- sin x^ } + 



... ^ /2asinx 



Hier können wir rechter Hand die reelle Komponente 

 schreiben -ö-logl (l-(-«^)^ - ^«^cosx^ , und wir finden daher 



