a' kög' nkgvszecítkseről. i50 



utolsó a' való viszonyhoz jobban közelít mint az első. L'tána többen és 

 pontosabban batáiozák meg n szám' mértékét. Wetiiis azt állítá, bogy 

 -t = ~j\ , van Ceulen Ludolph a' 60° iv' folytatott barminczszori ketté- 

 vágása által a beirt G442450944 szeg' oldalát és a' 6° iv' folytatott 29szeri 

 ketté szelese által a beirt 32212254720 szeg' oldalát az a) alatt elő- 

 adott formulák szerint számitá 's Jt szám' értékét 32 tizedessel fejezé ki=: 



3,1415926 



Ámbár Ludolph' száma felesleg elég a' gyakorlásra ; mindazáltal 

 némelly térmérők inkább talán azon reményből, bogy 7t szám' értékének 

 valamelly nevezetes tulajdonságát fedezik fel , mint sem nagyobb pontos- 

 ság végett ezen számítást sokkal messzebb vivék az ujabb fejtegetés 

 (analysis) segédével, melly által a' nagy törődést 's elmésséget kivánt 

 munka, úgy szólván, játékká változott. A' fejtegetés e' végre végetlen 

 sorokkai (series) él, mellyck' kifejtésére különféle utal vannak. Hlyen 

 p. 0. a' következő egyszerű 's mind a' mellett eléggé pontos mód. 

 Tudjuk a' háromszegmérésből , hogy 



Cos = x-|-sin°x — 1 = 

 és, mivel cos2x=l — 2sin = x, 



Cos = x — sin'x — cos2 x = 0. 

 Mivel pedig sin ( — x) = — sinx, és cos ( — x) = cosx; ezen felül ha 

 X = 0, akkor sinx = 0, és cos x = 1 ; tehát, ha a' sinx és cosx 

 nagyságot sorral fejezzük ki a' határozatlan sokszoroztatok' törvénye 

 szerint, a' sinx sorában x-nek páros czimü (exponens) hatalma és vala- 

 melly változatlan tag elő nem fordulhat, ellenben a' cosx sorában x-nek 

 mind páratlan hatalmait és a' változatlan 1 nagyságot kell venni. Le- 

 szen tehát 



sinx = Ax + Bx^-fCx' + - •• 



cosx = 1-j-ax' -|-bx*-|-cx" + 



tehát, ha az utolsóban x helyett mindenütt 2 x-et irunk, 



Cos2x=l+4ax= + 16bx'' + 64cx"4-•.•• 

 Ha a' felebbi egyenletekbe a' sinx, cosx és cos2 x ezen értékél tesz- 

 szük , lesz az elsőből 

 0= (2a-fA0 x'-f- (a=-f 2b+2 AB) x^-f (2 (ab+e-f-Ac) +B-") x'+.... 



